Remarque 4

À tout élément s de M(I) (resp. Mo(I), resp. $\mathbf{N}^{(I)}$) est associé sa longueur $l(s)$, qui est un entier $\geqslant 1$ (resp. $\geqslant 0$) tel que $l(ss') = l(s) + l(s')$ (I, p. 77, p. 79 et p. 87). Si $e_s$ est l’élément de $\mathrm{Lib}_A(I)$ (resp. Libas_A(I), resp. Libasc_A(I)) correspondant à s, on appelle degré total (ou simplement degré) d’un élément $x = \sum_s \alpha_s e_s \neq 0$ de $\mathrm{Lib}_A(I)$ (resp. Libas_A(I), resp. Libasc_A(I)) le plus grand des nombres $l(s)$ lorsque s parcourt l’ensemble (non vide par hypothèse) des éléments tels que $\alpha_s \neq 0$. Par exemple, si $i, j, k$ sont trois éléments distincts de I, l’élément $(X_i(X_jX_k))X_i - (X_iX_j)(X_kX_i)$ est un élément $\neq 0$ de degré total 4 dans $\mathrm{Lib}_A(I)$.