Exemple 2

Soit L’ l’algèbre universelle engendrée par I et soumise aux identités $(uv)w - u(vw) = 0$ pour toute famille de trois éléments de L’, et soit L” l’algèbre obtenue par adjonction à L’ d’un élément unité; il existe alors un isomorphisme unifère unique g de L” sur Libas_A(I) tel que $g(\overline{X}_i) = X_i$ pour tout $i \in I$. En effet, il est clair que L” est associative et l’existence de l’homomorphisme g résulte de la définition de L’ et des remarques qui la précèdent; mais alors il est clair que L” vérifie la propriété universelle (III, p. 22, prop. 7) qui caractérise Libas_A(I), d’où la conclusion.

Des considérations analogues aux précédentes s’appliquent aux algèbres associatives (resp. associatives et commutatives), en tenant compte des remarques qui suivent. Quand le contexte indique suffisamment que les algèbres que l’on considère sont des algèbres unifères, on fait souvent l’abus de langage qui consiste à appeler système générateur d’une algèbre F une famille d’éléments $(x_i)_{i \in I}$ de F telle que la sous-algèbre engendrée par les $x_i$ ($i \in I$) et par l’élément unité soit égale à F. Cela étant, soient F une algèbre associative unifère sur A, et soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de F; en vertu de III, p. 22, prop. 7, il existe un unique homomorphisme unifère $f : \mathrm{Libas}_A(I) \to F$ tel que $f(X_i) = x_i$ pour tout $i \in I$; si U $\in \mathrm{Libas}_A(I)$, on appelle encore $f(U)$ l’élément de F déduit de U par substitution des éléments $x_i$ aux indéterminées $X_i$, et on le note encore $U((x_i)_{i \in I})$. On transporte alors aussitôt aux algèbres associatives les notions de relateur, de présentation, et de relateur universel ; il suffit simplement de remplacer partout $\mathrm{Lib}_A(I)$ par $\mathrm{Libas}_A(I)$.

L’algèbre associative unifère universelle, définie par le système générateur $I$ lié par la famille de relateurs $(R_j)_{j \in J}$ est l’algèbre quotient de $\mathrm{Libas}_A(I)$ par l’idéal bilatère engendré par la famille $(R_j)$. On définit de même l’algèbre associative unifère universelle définie par le système générateur $I$, et correspondant à une famille de relateurs universels. Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer les définitions analogues relatives aux algèbres associatives et commutatives, $\mathrm{Libasc}_A(I)$ se substituant à $\mathrm{Libas}_A(I)$.