Exemple 3

Algèbre d’un magma. Soient S un magma et soit $\varphi : S \to \Delta$ un homomorphisme. Pour tout $\lambda \in \Delta$, posons $S_\lambda = \varphi^{-1}(\lambda)$; on a alors $S_\lambda S_\mu \subset S_{\lambda + \mu}$. Soient A un anneau commutatif gradué de type $\Delta$, $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ sa graduation; nous allons définir sur l’algèbre $E = A^{(S)}$ du magma S (III, p. 19) une structure de A-algèbre graduée. Pour cela, désignons par $E_\lambda$ le sous-groupe additif de E engendré par les éléments de la forme $\alpha . s$ tels que $\alpha \in A_\mu$, $s \in S_\nu$ et $\mu + \nu = \lambda$. Comme les $S_\lambda$ sont deux à deux disjoints, E est somme directe des $A_\mu S_\nu$, donc aussi somme directe des $E_\lambda$, et il est immédiat que les $E_\lambda$ vérifient les conditions (1) et (2) de III, p. 30 et définissent donc sur E la structure de A-algèbre graduée voulue. Si S admet un élément neutre $e$, on supposera en outre que $\varphi(e) = 0$. Un cas particulier est celui où la graduation de l’anneau A est triviale; alors $E_\lambda$ est le sous-A-module de E engendré par $S_\lambda$. Plus particulièrement, si l’on prend $S = \mathbf{N}^{(I)}$, $\Delta = \mathbf{N}$ et pour $\varphi$ l’application telle que $\varphi((n_i)) = \sum_{i \in I} n_i$, l’anneau A étant muni de la graduation triviale, on obtient ainsi sur l’algèbre de polynômes $A[X_i]_{i \in I}$ une graduation pour laquelle le degré d’un polynôme homogène $\neq 0$ est le degré total défini dans III, p. 26 (cf. III, p. 73).

Prenons maintenant pour S le monoïde libre Mo(B) d’un ensemble B (I, p. 79), et pour $\varphi$ l’homomorphisme $\mathrm{Mo}(B) \to \mathbf{N}$ qui à chaque mot associe sa longueur. On obtient ainsi une structure de A-algèbre graduée sur l’algèbre associative libre de l’ensemble B (III, p. 21; cf. III, p. 62).