Bourbaki

Exemple 2

Étiquette 0DGL, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DGL].

Algebra, chapter III, § 4. Produits tensoriels d’algèbres

Soient EE et FF deux AA-algèbres, e,e′e, e' leurs éléments unités respectifs, MM un EE-module, NN un FF-module; ces structures de module définissent sur MM une structure de bimodule sur les anneaux AA et EE, et sur NN une structure de bimodule sur les anneaux AA et FF; on en déduit donc sur le produit tensoriel M⊗ANM \otimes_A N une structure de bimodule sur les anneaux EE et FF, définie par

x⋅(m⊗n)=(x⋅m)⊗n,y⋅(m⊗n)=m⊗(y⋅n) x \cdot (m \otimes n) = (x \cdot m) \otimes n, \quad y \cdot (m \otimes n) = m \otimes (y \cdot n)

pour x∈E,y∈F,m∈M,n∈Nx \in E, y \in F, m \in M, n \in N (II, p. 54); on voit en outre que les conditions (8) de III, p. 38 sont vérifiées, donc la structure de bimodule précédente est associée à une structure de (E⊗AF)(E \otimes_A F)-module sur M⊗ANM \otimes_A N, telle que

(x⊗y).(m⊗n)=(x.m)⊗(y.n)(x \otimes y) . (m \otimes n) = (x.m) \otimes (y.n)
pour x∈E,y∈F,m∈M,n∈Nx \in E, y \in F, m \in M, n \in N.

Si on prend en particulier M=EsM = E_s, Es⊗ANE_s \otimes_A N se trouve muni canoniquement d’une structure de (E⊗AF)(E \otimes_A F)-module; d’ailleurs, E⊗ANE \otimes_A N est canoniquement identifié à E⊗A(Fd⊗FN)=(E⊗AF)⊗FNE \otimes_A (F_d \otimes_F N) = (E \otimes_A F) \otimes_F N, où E⊗AFE \otimes_A F est considéré comme muni de sa structure de FF-module à droite définie par l’homomorphisme canonique v:F→E⊗AFv : F \to E \otimes_A F; pour x,x′x, x' dans E,y∈F,n∈NE, y \in F, n \in N, x′⊗nx' \otimes n est ainsi identifié à (x′⊗e′)⊗n(x' \otimes e') \otimes n, et (x⊗y).(x′⊗n)=(xx′)⊗(y.n)(x \otimes y) . (x' \otimes n) = (xx') \otimes (y.n) à ((xx′)⊗y)⊗n((xx') \otimes y) \otimes n. Le (E⊗AF)(E \otimes_A F)-module Es⊗ANE_s \otimes_A N est ainsi identifié au (E⊗AF)(E \otimes_A F)-module déduit de NN par extension des scalaires à E⊗AFE \otimes_A F au moyen de l’homomorphisme vv (II, p. 82). L’application canonique n↦e⊗nn \mapsto e \otimes n de NN dans Es⊗ANE_s \otimes_A N s’identifie à l’application canonique n↦(e⊗e′)⊗nn \mapsto (e \otimes e') \otimes n de NN dans (E⊗AF)⊗FN(E \otimes_A F) \otimes_F N; on sait que c’est un FF-homomorphisme.

Avec les mêmes notations, soit PP un (E⊗AF)(E \otimes_A F)-module à droite; alors on a un isomorphisme canonique de Z\mathbf{Z}-modules

P⊗E⊗AF(Es⊗AN)→P⊗FNP \otimes_{E \otimes_A F}(E_s \otimes_A N) \to P \otimes_F N
où au second membre PP est considéré comme FF-module à droite au moyen de l’homomorphisme canonique vv. En effet, PP s’identifie canoniquement à P⊗E⊗AF(E⊗AF)P \otimes_{E \otimes_A F}(E \otimes_A F), et (E⊗AF)⊗FN(E \otimes_A F) \otimes_F N à E⊗A(F⊗FN)E \otimes_A (F \otimes_F N), donc à E⊗ANE \otimes_A N, ce qui établit l’isomorphisme annoncé (II, p. 64, prop. 8 et II, p. 55, prop. 4).

Tout ce qui précède s’étend aux multimodules (II, p. 33).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.

Transcrit du volume imprimé. Non traduit.