Exemple 2

Si on prend $\mathbf{A} = \mathbf{Z}$ et $\Delta_i = \mathbf{Z}$ pour tout $i \in I$, on a un système de facteurs de commutation en prenant $\varepsilon_{ij}(\alpha_i, \beta_j) = (-1)^{\alpha_i \beta_j}$. On notera que ce nombre ne dépend que des parités de $\alpha_i$ et $\beta_j$, et les $\varepsilon_{ij}$ peuvent donc être considérés comme un système de facteurs de commutation lorsque certains des $\Delta_i$ sont égaux à $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, les autres à $\mathbf{Z}$.

Ces deux exemples sont les cas les plus fréquents que l’on rencontre dans les applications.