Remarque

Dans la démonstration de la prop. 10 (III, p. 47), on s’est servi d’une relation d’ordre total sur $I$ pour définir une structure d’algèbre sur le produit tensoriel $\bigotimes_{i \in I} E_i$ des $A$-modules $E_i$. Si l’on change la relation d’ordre sur $I$, on trouve une autre structure multiplicative sur $\bigotimes_{i \in I} E_i$, mais la nouvelle algèbre ainsi obtenue est canoniquement isomorphe à la précédente, puisque l’une et l’autre sont solutions du même problème d’application universelle. Par exemple, lorsque $I = \{1, 2\}$, l’isomorphisme canonique de l’algèbre $E_1 \varepsilon \otimes_A E_2$ sur l’algèbre $E_2 \varepsilon \otimes_A E_1$ transforme $x_1 \otimes x_2$ en $\varepsilon_{2,1}(\alpha, \beta)x_2 \otimes x_1$, pour $x_1$ homogène de degré $\alpha$ et $x_2$ homogène de degré $\beta$.

Soit $J$ une partie de $I$, et, pour chaque $i \in J$, considérons l’homomorphisme canonique $h_i : E_i \to \varepsilon \bigotimes_{i \in I} E_i = E$. En vertu des relations (25) de III, p. 47, on déduit canoniquement (par la prop. 10 de III, p. 47) de ces homomorphismes un homomorphisme canonique $h : E' = \varepsilon \bigotimes_{i \in J} E_i \to E$ tel que pour tout $i \in J$, $h'_i = h \circ h_i$, $h'_i$ étant l’homomorphisme canonique $E_i \to E'$. Si l’on prend sur $J$ l’ordre total induit par celui choisi sur $I$, on a

où le second membre est le produit de la séquence $(h_i(x_i))_{i \in J}$, et où dans le troisième membre, $x'_i = x_i$ pour $i \in J$, $x'_i = e_i$ pour $i \notin J$.