Exemple 2

Considérons une matrice carrée d’ordre $n$ qui se présente sous forme d’une « matrice triangulaire supérieure de matrices » (II, p. 152, Exemple IV)

Montrons que l’on a

(30)

Soient $n$ l’ordre de la matrice $X$, $h$ celui de la matrice $Y$, $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $\mathbf{A}^n$, $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) les colonnes de $X$; l’hypothèse entraîne que les colonnes $x_1, \ldots, x_h$ appartiennent au sous-module de $\mathbf{A}^n$ ayant pour base $e_1, \ldots, e_h$ et l’on a par définition (III, p. 92, formule (6))

D’autre part, pour tout indice $i > h$, on peut écrire $x_i = y_i + z_i$, où $y_i$ est une combinaison linéaire de $e_1, e_2, \ldots, e_h$ et $z_i$ une combinaison linéaire de $e_{h+1}, \ldots, e_n$. D’après (30), on a $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_h \wedge y_i = 0$ pour tout $i > h$, donc

Mais par définition on a

d’où la formule (30).

Par récurrence sur $p$, on en déduit que si $X$ est sous forme d’une matrice triangulaire supérieure de matrices:

on a

(31) $\det X = (\det X_{11})(\det X_{22}) \ldots (\det X_{pp})$.

Ceci s’applique en particulier à une matrice triangulaire (toutes les $X_{ii}$ étant d’ordre 1) et plus particulièrement à une matrice diagonale:

(32) $\det(\operatorname{diag}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)) = \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n.$