Exemple 3

Étiquette 0DGU, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DGU].

Soient M, M’ deux A-modules libres de dimensions respectives $n, n'$ , u un endomorphisme de M, $u'$ un endomorphisme de M’. Alors on a

(33) $\det(u \otimes u') = (\det u)^{n'} (\det u')^n.$

En effet, on peut écrire $u \otimes u' = (u \otimes 1_{M'}) \circ (1_M \otimes u')$ et on est ramené au cas où l’un des deux endomorphismes $u, u'$ est l’identité. Par exemple si $u' = 1_{M'}$ , et si $X$ est la matrice de $u$ par rapport à une base $(e_i)$ de M, alors la matrice de $u \otimes 1_{M'}$ par rapport au produit tensoriel de $(e_i)$ et d’une base de M’ s’écrit comme matrice (à $n'$ lignes et $n'$ colonnes) de matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes

\begin{pmatrix} X & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & X \end{pmatrix}

d’où, en vertu de l’Exemple 2

\det(u \otimes 1_{M'}) = (\det X)^{n'} = (\det u)^{n'}

ce qui donne aussitôt la formule (33).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.