Remarque 2

Tant qu’on ne considère que des ε-dérivations d’un degré donné δ, on peut se débarrasser du facteur de commutation ε par le procédé suivant: on modifie l’application bilinéaire $\lambda_2 : A \times B' \to B''$ en la remplaçant par l’application bilinéaire $\lambda'_2 : A \times B' \to B''$ telle que pour tout $a$ homogène dans $A$ et tout $b' \in B'$, on ait

Alors $d$ est une dérivation relativement aux applications bilinéaires $\mu, \lambda_1, \lambda'_2$.

La définition générale des ε-dérivations donnée ci-dessus est surtout utilisée dans deux cas:

Cas I): on a $A = B, A' = B', A'' = B''$, et les trois applications bilinéaires $\mu, \lambda_1, \lambda_2$ sont égales à une même application.

Cas II): on a $A = A' = A'', B = B' = B''$, de sorte que (pour $\mu$) $A$ est une algèbre graduée, et que les deux applications K-bilinéaires

(7)

sont telles que les applications K-linéaires correspondantes $B \otimes_K A \to B, A \otimes_K B \to B$ soient graduées de degré 0. Une ε-dérivation de degré δ de $A$ dans $B$ est alors une application K-linéaire graduée $d : A \to B$ de degré δ, telle que, pour tout $x$ homogène dans $A$ et tout $y \in A$, on ait la relation

(8)

Rentre en particulier dans le cas II) le cas où $A$ est une K-algèbre associative unifière, et où $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les lois d’action d’un (A, A)-bimodule (III, p. 39, déf. 3). Il en est ainsi notamment lorsque $A$ et $B$ sont deux K-algèbres associatives unifières, que l’on s’est donné un homomorphisme unifière de K-algèbres graduées $\rho : A \to B$ et que l’on considère sur $B$ la structure de (A, A)-bimodule définie par les deux lois d’action

pour $a \in A, b \in B$.

Les cas I) et II) ont en commun le cas suivant: on considère une K-algèbre graduée $A$, on prend $B = A$, les applications (7) étant toutes deux la multiplication dans $A$. On parle alors de ε-dérivation (ou (K, ε)-dérivation) de l’algèbre graduée $A$: c’est une application K-linéaire graduée de $A$ dans elle-même, de degré δ, satisfaisant à (8) pour tout $x$ homogène dans $A$ et tout $y \in A$. En particulier, si $A$ est un anneau gradué, considéré comme une $\mathbf{Z}$-algèbre (associative), on parlera des ε-dérivations de l’anneau $A$.

Soient $A$ une K-algèbre associative, commutative et unifière, $B$ un A-module; lorsqu’on parlera de dérivation de $A$ dans $B$, il sera sous-entendu qu’il s’agit de la structure de A-bimodule de B déduite de sa structure de A-module; on a alors la formule

pour $x \in A, y \in A$ pour une telle dérivation $d : A \to B$.