Corollaire

Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de L, x = $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de L, M l’ensemble des $x_i$, U l’ensemble des $f \in K((X_i)_{i \in I})$ telles que x soit substituable dans f, $\varphi$ l’homomorphisme $f \mapsto f(x)$ de U dans L. Alors $\varphi(U)$ est le sous-corps de L engendré par K $\cup$ M.

Soit L’ le sous-corps de L engendré par K $\cup$ M. On a

et $\varphi(U)$ est un sous-anneau de L. La prop. 2 entraîne que $\varphi(U)$ est un sous-corps de L, d’où $\varphi(U) = L'$.

Soit $f \in K((X_i)_{i \in I})$. Soit $(g_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $K((Y_l)_{l \in L})$. Si $(g_i)$ est substituable dans $f$, $f((g_i))$ est un élément de $K((Y_l)_{l \in L})$. En particulier, $(X_i)_{i \in I}$ est substituable dans $f$, et $f = f((X_i)_{i \in I})$.