Exemple 4

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Algebra, chapter IV, § 6. FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Posons $P(X_1, \ldots, X_n) = X_1^k + \cdots + X_n^k$ ; introduisons par ailleurs l’algèbre $E = \mathbf{A}[X]/(f)$ et notons $x$ l’image de $X$ dans $E$ . Rappelons que le $\mathbf{A}$ -module $E$ est libre, de base $(1, x, \ldots, x^{n-1})$ (IV, p. 10, corollaire). Montrons que l’on a

\operatorname{Tr}_{E/\mathbf{A}}(x^k) = P^*(f)

Posons $\pi_k = \operatorname{Tr}_{E/\mathbf{A}}(x^k)$ pour tout entier $k \geq 1$ . Compte tenu des relations de Newton (IV, p. 65), il suffit d’établir les relations

\begin{align*} &\pi_k + a_1 \pi_{k-1} + \cdots + a_{k-1} \pi_1 + k a_k = 0 \quad \text{pour } 1 \leq k \leq n \\ &\pi_k + a_1 \pi_{k-1} + \cdots + a_{n-1} \pi_{k-n+1} + a_n \pi_{k-n} = 0 \quad \text{pour } k > n \end{align*}

(que nous appellerons aussi « relations de Newton »). La relation (27) est immédiate, car le premier membre est la trace de

x^{k-n}(x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n) = 0 .

Supposons qu’on ait $1 \leq k \leq n$ et posons

y = x^k + a_1 x^{k-1} + \cdots + a_{k-1} x + a_k . 1 ;

soit $M = (m_{ij})$ la matrice de l’application linéaire $u \mapsto yu$ dans $E$ , par rapport à la base $(x^i)_{0 \leq i < n}$ . On prouve facilement les relations

\begin{align*} &m_{ii} = a_k \quad \text{pour } 0 \leq i < n - k \\ &m_{ii} = 0 \quad \text{pour } n - k \leq i < n , \end{align*}

d’où

\operatorname{Tr}_{E/\mathbf{A}}(y) = \sum_{i=0}^{n-1} m_{ii} = (n - k) a_k .

On a par ailleurs

\operatorname{Tr}_{E/\mathbf{A}}(y) = \pi_k + a_1 \pi_{k-1} + \cdots + a_{k-1} \pi_1 + n a_k ,

d’où la formule (26).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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