Exemple 2

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Algebra, chapter IV, § 6. FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Soit $f(X) = X^2 + \alpha X + \beta$ un polynôme unitaire de degré 2. Les relations de Newton s’écrivent sous la forme (IV, p. 70)

\begin{align*} p_0 &= 2 \\ p_1 + \alpha &= 0 \\ p_2 + \alpha p_1 + 2\beta &= 0, \end{align*}

d’où $p_1 = -\alpha, p_2 = \alpha^2 - 2\beta$ . Par suite, on a

\text{dis}(f) = \det \begin{pmatrix} 2 & -\alpha \\ -\alpha & \alpha^2 - 2\beta \end{pmatrix} = \alpha^2 - 4\beta.

Soient B un anneau commutatif, $\rho$ un homomorphisme de A dans B et $\xi_1, ..., \xi_m$ des éléments de B tels que

\rho f(X) = (X - \xi_1) ... (X - \xi_m).

Notons $M$ la matrice $(\rho(p_{i+j}))_{0 \leq i,j < m}$ et $D$ la matrice de van der Monde $(\xi_{i+1}^j)_{0 \leq i,j < m}$ . D’après l’exemple 4 de IV, p. 70, on a

\rho(p_k) = \xi_1^k + \cdots + \xi_m^k,

d’où $M = {}^tD.D$ ; on a $\det D = \prod_{i > j} (\xi_i - \xi_j)$ d’après III, p. 99, et $\det M = (\det D)^2$ , c’est-à-dire

\rho(\text{dis}(f)) = \prod_{i < j} (\xi_i - \xi_j)^2.

(46)

De plus, on a $\left( \text{en notant } D \text{ la dérivation } \frac{d}{dX} \right)$

D(\rho f)(\xi_i) = (\xi_i - \xi_1) ... (\xi_i - \xi_{i-1}) (\xi_i - \xi_{i+1}) ... (\xi_i - \xi_m)

pour $1 \leq i \leq m$ , d’où

\rho(\text{dis}(f)) = (-1)^{m(m-1)/2} \prod_{i \neq j} (\xi_i - \xi_j) = (-1)^{m(m-1)/2} \prod_{i=1}^m D(\rho f)(\xi_i).

D’après le cor. 1 de IV, p. 75, appliqué à la décomposition universelle de $f$ , on a finalement

\text{res}(f, Df) = \text{res}(Df, f) = (-1)^{m(m-1)/2} \text{dis}(f) .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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