Remarque

Avec les notations du cor. 6, supposons les conditions a) et b) remplies. Les homomorphismes de restriction $\varphi_i : \Gamma \to \mathrm{Gal}(E_i/K)$ pour $i = 1, 2$ induisent des isomorphismes de groupes topologiques

D’après a), on voit que l’application $\sigma \mapsto (\varphi_1(\sigma), \varphi_2(\sigma))$ est un isomorphisme de groupes topologiques de $\mathrm{Gal}(N/K)$ sur $\mathrm{Gal}(E_1/K) \times \mathrm{Gal}(E_2/K)$.

8. Changement du corps de base

Soient $N$ une extension galoisienne de $K$ et $\Gamma$ le groupe de Galois de $N$ sur $K$; soit aussi $N'$ une extension galoisienne d’un corps $K'$, de groupe de Galois $\Gamma'$. On identifie $K$ (resp. $K'$) à son image dans $N$ (resp. $N'$). Soient $u$ un homomorphisme

Fig. 1.

de $K$ dans $K'$ et $v$ un homomorphisme de $N$ dans $N'$, dont la restriction à $K$ soit égale à $u$ (cf. fig. 1). Soit $\sigma \in \Gamma'$; comme on a $u(K) \subset K'$, $\sigma$ est un $u(K)$-automorphisme de $N'$; de plus, $v(N)$ est extension galoisienne de $u(K)$, donc $\sigma$ induit un $u(K)$-automorphisme de $v(N)$ (V, p. 53, remarque 1). Autrement dit, pour tout $\sigma \in \Gamma'$, il existe un unique élément $v^*(\sigma)$ de $\Gamma$ tel que

L’application $v^*$ est un homomorphisme de $\mathrm{Gal}(N'/K')$ dans $\mathrm{Gal}(N/K)$. Pour tout $x \in N$, l’application $\sigma \mapsto v^*(\sigma)(x) = v^{-1}(\sigma(v(x)))$ de $\Gamma'$ dans l’espace discret $N$ est continue, donc $v^*$ est continue.

Trois cas particuliers sont importants :

a) Si $F$ est une extension galoisienne de $K$ et $E$ une sous-extension de $F$, on sait (V, p. 64, lemme 1) que $F$ est extension galoisienne de $E$. Appliquons ce qui précède au cas où $N = F, K' = E, N' = F$ et $v = \mathrm{Id}_F$. Alors $v^*$ n’est autre que l’injection canonique

On l’appelle parfois l’homomorphisme d’inflation.

b) Supposons de plus que $E$ soit galoisienne sur $K$. Appliquons ce qui précède au cas où $N = E, K' = K, N' = F$ et où $v$ est l’injection canonique de $E$ dans $F$. Alors $v^*$ n’est autre que l’homomorphisme de restriction

On sait (V, p. 58, prop. 3) que $\pi$ est surjectif, de noyau $\mathrm{Gal}(F/E)$, et définit par passage au quotient un isomorphisme de groupes topologiques de $\mathrm{Gal}(F/K)/\mathrm{Gal}(F/E)$ sur $\mathrm{Gal}(E/K)$ (V, p. 66, cor. 4).

c) Supposons que l’on ait $v^{-1}(K') = K$ et $N' = K'(v(N))$. Montrons que l’homomorphisme

est un isomorphisme de groupes topologiques, appelé parfois la translation. En effet, le groupe $\mathrm{Gal}(N'/K')$ est compact, le groupe $\mathrm{Gal}(N/K)$ est séparé et $v^*$ est continu ; il suffit donc (TG, I, p. 63, cor. 2) de prouver que $v^*$ est bijectif. Or tout élément $\sigma$ du noyau de $v^*$ est un automorphisme de $N'$ qui induit l’identité sur $K'$ et sur $v(N)$, donc $\sigma = \varepsilon$ puisque $N' = K'(v(N))$; par suite, $v^*$ est injectif. Par ailleurs, l’image de $v^*$ est un sous-groupe fermé $\Delta$ de $\mathrm{Gal}(N/K)$ (TG, I, p. 63, ibid.) et le corps des invariants de $\Delta$ est égal à $v^{-1}(K') = K$; par suite, on a $\Delta = \mathrm{Gal}(N/K)$ (V, p. 64, th. 4), donc $v^*$ est surjectif.

Le cas général se ramène par composition aux précédents. Remarquons tout d’abord que $K'(v(N))$ est le corps des invariants dans $N'$ du noyau $\Delta$ de $v^*$; comme $\Delta$ est un sous-groupe distingué de $\mathrm{Gal}(N'/K')$, l’extension $K'(v(N))$ de $K'$ est galoisienne (V, p. 66, cor. 4). Alors $v^*$ est composé des homomorphismes

dans cette suite, $\pi$ est l’homomorphisme de restriction associé au triplet $K' \subset K'(v(N)) \subset N'$, $\psi$ est l’isomorphisme de translation associé au carré central du diagramme (fig. 2) et $j$ est l’homomorphisme d’inflation associé au triplet $K \subset v^{-1}(K') \subset N$.

Fig. 2.

Le théorème suivant précise la structure des isomorphismes de translation.