Remarque

Soient $K$ et $K'$ deux corps et $u$ un homomorphisme de $K$ dans $K'$. Soit $K_s$ (resp. $K'_s$) une clôture séparable (V, p. 44, prop. 14) de $K$ (resp. $K'$) et $\Pi$ (resp. $\Pi'$) le groupe de Galois de $K_s$ sur $K$ (resp. $K'_s$ sur $K'$). Comme $K_s$ est une extension algébrique et séparable de $K$, et que l’extension $(K'_s, u)$ de $K$ est séparablement close, il existe (V, p. 44, cor.) un homomorphisme $v$ de $K_s$ dans $K'_s$ prolongeant $u$. On déduit de $v$ un homomorphisme continu $v^*$ de $\Pi'$ dans $\Pi$. Soit $v_1$ un autre prolongement de $u$. Comme $K_s$ est une extension quasi-galoisienne de $K$, il existe un élément $\sigma_0$ de $\Pi$ tel que $v_1 = v \circ \sigma_0$. On en déduit $v_1^*(\tau) = \sigma_0^{-1} v^*(\tau) \sigma_0$ pour tout $\tau \in \Pi$.

9. Théorème de la base normale

Soit $N$ une extension galoisienne de $K$, de groupe de Galois $\Gamma$. Identifions $\Gamma$ à la base canonique de l’algèbre de groupe $K^{(\Gamma)}$ (III, p. 19); on peut considérer $N$ comme un $K^{(\Gamma)}$-module à gauche (III, p. 20, exemple), de sorte qu’on a

Si $N$ est de degré fini sur $K$, le groupe $\Gamma$ est fini d’après le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2), et l’on peut définir l’élément $t = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma$ de $K^{(\Gamma)}$; on a alors

c’est-à-dire $\operatorname{Tr}_{N/K}(x) = t.x$ pour tout $x \in N$.

Définissons une action à droite de $\Gamma$ sur $N$ par $x^\sigma = \sigma^{-1}(x)$. De manière analogue, on peut considérer le groupe multiplicatif $N^*$ comme un $\mathbf{Z}^{(\Gamma)}$-module à droite, la loi externe étant notée $(x, u) \mapsto x^u$. Par exemple, la notation $x^{2\sigma + 3\tau + \pi}$, où $\sigma, \tau, \pi$ sont des éléments de $\Gamma$, désigne le produit $(x^\sigma)^2 \cdot (x^\tau)^3 \cdot x^\pi$. Si $N$ est de degré fini sur $K$, et si $t = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma$ comme plus haut, on a $N_{N/K}(x) = \prod_{\sigma \in \Gamma} x^\sigma$, c’est-à-dire $N_{N/K}(x) = x^t$ pour tout $x \in N^*$.

Supposons désormais $N$ de degré fini sur $K$. Soit $x \in N$; pour que $\{ x \}$ soit une base du $K^{(\Gamma)}$-module $N$, il faut et il suffit que la famille $(\sigma(x))_{\sigma \in \Gamma}$ soit une base de $N$ sur $K$. On dit qu’une telle base est une base normale de $N$ sur $K$.