Exemple 2

Soit $F(X) = X^2 + aX + b$ un polynôme irréductible dans $K[X]$. Le seul cas où $F(X)$ n’est pas séparable est celui où K est de caractéristique 2 et $a = 0$. On écarte désormais ce cas ; soit E une extension de K engendrée par une racine $x$ de $F(X)$. On a $[E : K] = 2$, et $F(X) = (X - x)(X + a + x)$, donc E est une extension galoisienne de K. Le groupe de Galois de E par rapport à K est d’ordre 2, donc cyclique.