Exemple 3

Soient F un corps et $\sigma$ un automorphisme d’ordre fini $n$. Le corps E des invariants de $\sigma$ est aussi le corps des invariants du groupe cyclique d’ordre $n$ engendré par $\sigma$, et par suite (V, p. 64, th. 3), F est une extension cyclique de degré $n$ de E.

On sait (I, p. 48) que tout sous-groupe et tout groupe quotient d’un groupe cyclique est cyclique. Par suite (V, p. 66, cor. 4), si E est une extension cyclique d’un corps K, de degré $n$, toute sous-extension F de E est cyclique sur K, et E est cyclique sur F. Pour tout diviseur $d$ de $n$, il existe un unique sous-corps F de degré $d$ sur K contenu dans E : en effet, dans un groupe cyclique d’ordre $n$, il existe un unique sous-groupe d’indice $d$.