Exemple 3

Soit $E$ une extension algébrique d’un corps $K$. Si $L$ est une extension de $K$, l’anneau $L \otimes_K E$ est réunion des sous-anneaux $L \otimes_K F$ où $F$ parcourt l’ensemble des sous-extensions de degré fini de $E$; par suite, l’anneau $L \otimes_K E$ est réduit si et seulement s’il en est ainsi de $L \otimes_K F$ pour toute sous-extension $F$ de $E$, de degré fini sur $K$. Compte tenu de l’exemple 2, on voit que $E$ est une algèbre séparable au sens de la déf. 1 ci-dessus, si et seulement si c’est une extension algébrique séparable au sens de la déf. 1 de V, p. 35.