Remarque 4

Applications : II. Groupe multiplicatif des entiers inversibles modulo $a$

Soit $a$ un entier rationnel $> 1$, et soit $(\mathbf{Z}/a\mathbf{Z})^*$ le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau $\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}$. Si $a = \prod_i p_i^{n(i)}$ est la décomposition de $a$ en facteurs premiers, l’anneau $\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}$ est isomorphe au produit des anneaux $\mathbf{Z}/p_i^{n(i)}\mathbf{Z}$ (VII, p. 3, prop. 4), et le groupe $(\mathbf{Z}/a\mathbf{Z})^*$ isomorphe au produit des groupes $(\mathbf{Z}/p_i^{n(i)}\mathbf{Z})^*$. Nous sommes ainsi ramenés à étudier les groupes $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^*$, où $p$ est un nombre premier ; rappelons (V, p. 77) que l’ordre $\varphi(p^n)$ de $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^*$ est $p^n - p^{n-1} = p^{n-1}(p-1)$.

Supposons d’abord $p > 2$; l’homomorphisme canonique $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ induit par passage aux sous-ensembles un homomorphisme de groupes de $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^*$ dans $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*$, dont nous noterons le noyau $\mathrm{U}(p^n)$; d’après VII, p. 3, prop. 3, pour que la classe mod. $p^n$ d’un entier $m$ soit inversible, il faut et il suffit que $m$ soit étranger à $p$, c’est-à-dire que la classe de $m$ mod. $p$ soit inversible. On en déduit que $\mathrm{U}(p^n)$ est formé des classes mod. $p^n$ des entiers congrus à 1 mod. $p$, donc possède $p^{n-1}$ éléments, et qu’on a la suite exacte

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De même, pour $n \geqslant 2$, on note $\mathrm{U}(2^n)$ le noyau de l’homomorphisme canonique de $(\mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})^*$ dans $(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z})^*$; c’est un groupe à $2^{n-2}$ éléments, formé des classes mod. $2^n$ des entiers congrus à 1 mod. 4, et l’on a la suite exacte

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