Remarque

Soient $p$ un nombre premier $> 2$ et $x$ un entier congru à 1 mod. $p$ et non congru à 1 mod. $p^2$; on a une suite exacte de groupes

où $v$ est la projection canonique et où $u$ est déduit par passage aux quotients de l’application $r \mapsto x^r$. Soit $\mathbf{Z}_p$ l’anneau des entiers $p$-adiques (V, p. 92), et soit $x$ un élément de $\mathbf{Z}_p$ tel que $x-1 \in p\mathbf{Z}_p$, $x-1 \notin p^2\mathbf{Z}_p$; par passage à la limite projective, on déduit des suites exactes (5) une suite exacte

où $v$ est l’application canonique, et où l’application continue $u$ prolonge l’application $n \mapsto x^n$, $n \in \mathbf{Z}$. On pose souvent $x^n = u(x)$ pour $n \in \mathbf{Z}_p$.

De même, si $x \in \mathbf{Z}_2$, avec $x-1 \in 4\mathbf{Z}_2$, $x-1 \notin 8\mathbf{Z}_2$, on a une suite exacte scindée

où $u$ prolonge par continuité l’application $n \mapsto x^n$.