Remarque 12

Soient $E, E'$ deux espaces vectoriels à gauche sur des corps $A, A'$ respectivement, de dimension $\geqslant 3$; soit $\mathfrak{F}(E)$ (resp. $\mathfrak{F}(E')$) l’ensemble réticulé (pour la relation d’inclusion) formé des sous-espaces de dimension finie de $E$ (resp. $E'$).

a) Soit $p$ une application de $\mathfrak{F}(E)$ dans $\mathfrak{F}(E')$ telle que pour tout $M \in \mathfrak{F}(E)$, $\dim p(M) = \dim M$, et que pour tout couple $(M, N)$ d’éléments de $\mathfrak{F}(E)$, $p(M + N) = p(M) + p(N)$. Montrer que $p$ est injective ; si $p$ est bijective, il existe une application semi-linéaire bijective $u$ de $E$ dans $E'$ telle que l’on ait $u(M) = p(M)$ pour tout $M \in \mathfrak{F}(E)$ (utiliser l’exerc. 10 du chap. II, 2e éd., App. III).

b) Donner un exemple où $A' = A$ est commutatif, $E' = E$ est de dimension finie, et où il existe une application $p$ de $\mathfrak{F}(E)$ dans lui-même, telle que $\dim p(M) = \dim M, p(M + N) = p(M) + p(N), p(M \cap N) = p(M) \cap p(N)$, mais il n’existe aucune application semi-linéaire injective $u$ de $E$ dans lui-même telle que $u(M) = p(M)$ pour $M \in \mathfrak{F}(E)$. (Considérer le cas où il existe un surcorps $A''$ de $A$ de degré fini et isomorphe à $A$,