Remarque 2

S’il existe un élément inversible $i$ du centre de A tel que $\overline{i} = i \varepsilon$, alors, pour que $\Phi$ soit $\varepsilon$-hermitienne, il faut et il suffit que $i \Phi$ soit hermitienne.

L’application $(y, x) \to \overline{\Phi(x, y)}$ étant sesquilinéaire pour J, pour que $\Phi$ soit $\varepsilon$-hermitienne, il faut et il suffit que l’on ait $\Phi(y, x) = \varepsilon \overline{\Phi(x, y)}$ lorsque $x$ et $y$ parcourent un système de générateurs de E. En particulier, si E admet une base finie $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$, pour qu’une forme sesquilinéaire $\Phi$ sur E soit $\varepsilon$-hermitienne, il faut et il suffit que sa matrice $R = (\rho_{ij}) = (\Phi(e_i, e_j))$ vérifie les relations $\rho_{ji} = \varepsilon \overline{\rho_{ij}}$ quels que soient $i, j$, c’est-à-dire $'R = \varepsilon \overline{R}$ ; une matrice $R$ possédant cette propriété est dite $\varepsilon$-hermitienne. Lorsque $\varepsilon = 1$ (resp. $-1$) on dit que $R$ est hermitienne (resp. antihermitienne) relativement à l’antiautomorphisme J. Lorsque J est l’identité (donc A commutatif), une matrice hermitienne (resp. antihermitienne) $R$ est telle que $'R = R$ (resp. $'R = -R$) ; on dit alors que $R$ est une matrice symétrique (resp. antisymétrique). Pour que $\Phi$ soit une forme alternée, il faut et il suffit que sa matrice soit antisymétrique et, en outre, que les termes diagonaux de $R$ soient tous nuls ; une matrice possédant ces propriétés est dite alternée.

Soit $\Phi$ une forme sesquilinéaire sur $E$, et soient $s_\Phi$ et $d_\Phi$ les applications de $E$ dans $E^*$ associées à $\Phi$ à gauche et à droite ($§ 1$, n° 6). Pour que $\Phi$ soit $\varepsilon$-hermitienne, il faut et il suffit que $\langle x, s_\Phi(y) \rangle = \bar{\varepsilon} \langle x, d_\Phi(y) \rangle$ quels que soient les éléments $x, y$ de $E$, donc que $s_\Phi = \bar{\varepsilon} d_\Phi$, ou encore que $\langle x, d_\Phi(y) \rangle = \varepsilon \langle x, s_\Phi(y) \rangle$, donc que $d_\Phi = \varepsilon s_\Phi$.

Soit $\Phi$ une forme $\varepsilon$-hermitienne telle que l’application $d_\Phi$ de $E$ dans $E^*$ associée à droite à $\Phi$ soit bijective. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$ on a alors

En effet, quels que soient les éléments $x$ et $y$ de $E$, on a donc $u^{**(x)} = \varepsilon \bar{\varepsilon} u(x)$ puisque $\Phi$ est non dégénérée.

Si $\Phi$ est une forme $\varepsilon$-hermitienne telle que les applications $s_\Phi$ et $d_\Phi$ soient bijectives, alors la forme inverse $\widehat{\Phi}$ de $\Phi$ ($§ 1$, n° 7) est une forme $\bar{\varepsilon}$-hermitienne. En effet, en posant $s = s_\Phi$, $d = d_\Phi$ pour abréger, on déduit de $d = \varepsilon s$ que $s^{-1} = \bar{\varepsilon} d^{-1}$, $s$ étant semi-linéaire. Par suite, quels que soient $u, v$ dans $E$, on a

d’où puisque, $\varepsilon$ est dans le centre de $A$.

Enfin, lorsque l’anneau $A$ est commutatif, les prolongements canoniques d’une forme $\varepsilon$-hermitienne $\Phi$ aux puissances tensorielle et extérieure $\bigotimes^p E$ et $\wedge^p E$ de $E$ sont des formes $\varepsilon^p$-hermitiennes, comme il résulte aussitôt des formules (35) et (37) du $§ 1$, n° 9.