(resp. $\Phi(x, x') = - \Phi_2(x, j'(x')) + i \Phi_2(x, x')$)

$(x \in E, x' \in E)$, est un isomorphisme du K-espace vectoriel des formes K-bilinéaires sur $E_0 \times E'_0$ invariantes par $j$ et $j'$ sur le K-espace vectoriel des formes sesquilinéaires sur $E \times E'$. Supposons de plus $E = E'$; pour que $\Phi$ soit hermitienne, il faut et il suffit que $\Phi_1$ soit symétrique (resp. que $\Phi_2$ soit antisymétrique) (cf. exerc. 4).

En effet toute application $\Phi$ de $E \times E'$ dans $A$ s’écrit, d’une manière et d’une seule, sous la forme $\Phi = \Phi_1 + i \Phi_2$, où $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont des applications de $E \times E'$ dans $K$. Pour que l’application partielle $x \to \Phi(x, x')$ soit A-linéaire, il faut et il suffit, d’après la formule (3) (resp. (4)) du n° 2, que $\Phi_1$ (resp. $\Phi_2$) soit K-linéaire en $x$ et que l’on ait

(resp. $\Phi(x, x') = \Phi_2(j(x), x') + i \Phi_2(x, x')$).

De même, pour que $\overline{\Phi}(x, x')$ soit A-linéaire en $x'$, il faut et il suffit que $\Phi_1$ (resp. $\Phi_2$) soit K-linéaire en $x'$ et que l’on ait

(resp. $\Phi(x, x') = - \Phi_2(x, j'(x')) + i \Phi_2(x, x')$).

Il en résulte immédiatement que, pour que $\Phi$ soit sesquilinéaire, il faut et il suffit qu’elle s’écrive sous l’une ou l’autre formes (9) et (11) (resp. (10) et (12)) avec $\Phi_1$ (resp. $\Phi_2$) K-bilinéaire invariante par $j$ et $j'$.

Il résulte de ceci que, pour qu’une forme sesquilinéaire $\Phi = \Phi_1 + i \Phi_2$ soit nulle, il faut et il suffit que $\Phi_1$ (resp. $\Phi_2$) soit nulle. Or, si $E = E'$, on a $\Phi(y, x) = \Phi_1(y, x) + i \Phi_2(y, x)$ et $\overline{\Phi(x, y)} = \Phi_1(x, y) - i \Phi_2(x, y)$; pour que ces deux expressions soient égales, autrement dit pour que $\Phi$ soit hermitienne, il faut et il suffit donc que $\Phi_1$ soit symétrique (resp. que $\Phi_2$ soit antisymétrique).

En effet, comme la formule (16) n’est qu’une transcription de la formule (14), l’unicité d’une forme quadratique $Q$ vérifiant (15) est démontrée. Pour démontrer son existence, remarquons d’abord qu’il existe une famille $(b'_{ij})$ d’éléments de $A$ telle que $b'_{ii} = b_{ii}$ et que $b'_{ij} + b'_{ji} = b_{ij}$ pour $i \neq j$; on obtient par exemple une telle famille en munissant $I$ d’une structure d’ensemble totalement ordonné (Ens., chap. III, § 2, n° 3, th. 1) et en posant $b'_{ij} = b_{ij}$ pour $i < j$ et $b'_{ij} = 0$ pour $i > j$. Comme les $e_i$ forment une base de $E$, il existe une forme bilinéaire $f$ sur $E \times E$ telle que $f(e_i, e_j) = b'_{ij}$; en posant $Q'(x) = f(x, x)$ et en désignant par $\Phi'$ la forme bilinéaire associée à la forme quadratique $Q'$, on obtient $Q'(e_i) = b_{ii}$ et $\Phi'(e_i, e_j) = f(e_i, e_j) + f(e_j, e_i) = b_{ij}$. Ceci démontre notre seconde assertion. Quant à la première, elle en résulte aussitôt car, en vertu de l’unicité, si une forme quadratique $Q$ vérifie (15), on a $Q(x) = Q'(x) = f(x, x)$.

Le module $E$ muni de la structure définie par une forme quadratique $Q$ prend le nom de module quadratique. Un homomorphisme du module quadratique $(E, Q)$ dans un module quadratique $(E', Q')$ est une application linéaire $u$ de $E$ dans $E'$ telle que $Q = Q' \circ u$; si $\Phi$ et $\Phi'$ sont les formes bilinéaires associées à $Q$ et $Q'$, on a alors $\Phi(x, y) = \Phi'(u(x), u(y))$ pour $x \in E,\ y \in E$; autrement dit $\Phi'$ est l’image réciproque de $\Phi$ par $u$ (§ 1, n° 1). On dit que deux formes quadratiques $Q$ et $Q'$ sur deux $A$-modules $E$ et $E'$ sont équivalentes si les modules quadratiques correspondants sont isomorphes.

Soit $(E_i, Q_i)_{i \in I}$ une famille de modules quadratiques, et soit $E$ la somme directe des modules $E_i$. On appelle somme directe externe des modules quadratiques $(E_i, Q_i)$ le module quadratique obtenu en munissant $E$ de la forme quadratique $Q$ définie par $Q(\sum_i x_i) = \sum_i Q_i(x_i)$ pour $x_i \in E_i$. On dit aussi que la forme quadratique $Q$ est la somme directe externe des formes quadratiques $Q_i$.

Si les formes $Q_i$ sont non dégénérées, il en est de même de $Q$.

Soit $Q$ une forme quadratique sur le $A$-module $E$; si $F$ est un sous-module de $E$ et si $Q$ est constante sur chaque classe modulo $F$, l’application $\overline{Q}$ de $E/F$ dans $A$ déduite de $Q$ par passage au quotient est évidemment une forme quadratique, et l’application canonique de $E$ sur $E/F$ est un homomorphisme pour les structures de modules quadratiques. Pour que $Q$ soit constante sur chaque classe modulo $F$, il faut et il suffit que l’on ait $Q(x + y) = Q(x)$ pour $x \in E$ et $y \in F$, c’est-à-dire, en notant $\Phi$ la forme bilinéaire associée à $Q$, que l’on ait $Q(y) + \Phi(x, y) = 0$ pour $y \in F$ et $x \in E$. Faisant $x = 0$, on voit que l’on a $Q(y) = 0$ pour $y \in F$, et donc

$\Phi(x, y) = 0$ pour $x \in E$ et $y \in F$. Autrement dit, si l’on appelle noyau du module quadratique $(E, Q)$ l’ensemble $N$ des éléments $x$ de $E$ tels que $Q(x) = 0$ et $\Phi(x, z) = 0$ pour tout $z \in E$, pour que $Q$ soit constante sur chaque classe modulo $F$, il faut et il suffit que $F$ soit contenu dans le noyau $N$ de $(E, Q)$. On vérifie sans peine que $N$ est un sous-module de $E$. Pour que $Q$ soit constante sur chaque classe modulo $F$, il faut et il suffit donc que $F$ soit engendré par des éléments de $N$.

On voit aussitôt que le noyau du module quadratique $|E/N$ est $\{0\}$.

Montrons d’abord que, s’il existe une forme quadratique $Q'$ vérifiant (17), elle est unique et la forme bilinéaire $\Phi'$ associée à $Q'$ s’obtient par extension de l’anneau des scalaires à partir de la forme $\Phi$ associée à $Q$. En effet cette dernière assertion résulte de ce que l’on a

pour $x \in E, y \in E$. La formule (14) montre alors que l’on a pour $a'_i \in A'$ et $x_i \in E$, ce qui démontre l’unicité de $Q'$.

Pour montrer l’existence de $Q'$, nous supposerons d’abord que le module $E$ admet une base $(e_i)_{i \in I}$. Il existe alors des éléments $b_{ij}$ de $A$ tels que $b_{ij} = b_{ji}$ et que $Q(\sum_i a_i e_i) = \sum_{\{i, j\}} b_{ij} a_i a_j$ pour $a_i \in A$ (prop. 2). Comme les éléments $1 \otimes_A e_i$ forment une base du

A'-module $A' \otimes_A E$, on définit une forme quadratique $Q'$ sur ce dernier module en posant

pour $a'_i \in A'$; d’où, pour $x = \sum_i a_i e_i \in E$ ce qui démontre l’existence de $Q'$ dans ce cas.

Passons maintenant au cas général. Soient $(x_i)_{i \in I}$ un système de générateurs de $E$, $A^{(t)}$ le module des combinaisons linéaires formelles d’éléments de $I$ (chap. II, § 1, n° 8), et $(e_i)_{i \in I}$ la base canonique de $A^{(t)}$. L’application linéaire $u$ de $A^{(t)}$ dans $E$ définie par $u(e_i) = x_i$ est surjective puisque les éléments $x_i$ engendrent $E$. Il en résulte (chap. III, 2e éd., App. II, n° 5, prop. 4) que l’application $1 \otimes u$ de $A' \otimes A^{(t)}$ dans $A' \otimes E$ est surjective, et que son noyau $P'$ est engendré par les éléments de la forme $1 \otimes p$ avec $u(p) = 0$. Soit alors $Q'_1$ l’extension à $A' \otimes_A A^{(t)}$ de la forme quadratique $Q_1 = Q \circ u$ sur $A^{(t)}$. Si $p$ est un élément de $A^{(t)}$ tel que $u(p) = 0$, on a $Q'_1(1 \otimes p) = h(Q_1(p)) = 0$ et (en notant $\Phi'_1$ la forme bilinéaire associée à $Q'_1$) $\Phi'_1(1 \otimes p, 1 \otimes x) = h(\Phi(u(p), u(x))) = 0$ pour tout $x \in A^{(t)}$. Donc, si $u(p) = 0$ ($p \in A^{(t)}$), alors $1 \otimes p$ appartient au noyau du module quadratique $A' \otimes_A A^{(t)}$, et il existe par suite, comme on l’a vu plus haut, une forme quadratique $Q'$ sur $A' \otimes_A E$ telle que $Q'_1 = Q' \circ (1 \otimes u)$. Comme $u$ est surjective, on voit que $Q'$ vérifie la condition (17). CQFD.

La forme quadratique $Q'$, dont l’existence et l’unicité sont assurées par la prop. 3, est appelée l’extension de $Q$ à $A' \otimes_A E$ (par rapport à $h$). On dit aussi que $Q'$ s’obtient à partir de $Q$ par extension de l’anneau des scalaires.

Exercices. — 1) Soient $A$ un corps, $E$ un espace vectoriel à gauche sur $A$, $\Phi$ une forme sesquilinéaire sur $E$ (pour un antiautomorphisme $J$ de $A$). On suppose que le rang (fini ou infini) de $\Phi$ est $\geqslant 2$, et que les relations $\Phi(x, y) = 0$ et $\Phi(y, x) = 0$ sont équivalentes. a) Montrer qu’il existe $\lambda \neq 0$ dans $A$ tel que l’on ait $\Phi(y, x) = \lambda (\Phi(x, y))^J$. (Utiliser l’exerc. 8 du § 1). b) Montrer qu’il existe $\alpha \in A$ tel que la forme sesquilinéaire $\Phi \alpha$ (pour l’antiautomorphisme $\xi \to \alpha^{-1} \xi^J \alpha$) soit hermitienne ou alternée.

(Remarquer d’abord que l’on a $\xi^{J^2} = \lambda^{-1} \xi \lambda^{-J}$ et $\lambda \lambda^J = \lambda^J \lambda = 1$. Distinguer ensuite deux cas suivant que $\xi + \xi^J \lambda^{-1} = 0$ pour tout $\xi \in A$ ou non ; dans le second cas, montrer que tout élément $\neq 0$ de la forme $\alpha = \xi + \xi^J \lambda^{-1}$ répond à la question).

2) Soit $\Phi$ une forme sesquilinéaire $\varepsilon$-hermitienne sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps $A$.

a) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel $M$ de $E$, on a $(M^0)^0 = M + E^0$ et $\dim M^0 + \dim M = \dim E + \dim (M \cap E^0)$.

b) Si $M_1, M_2$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, montrer que l’on a $\dim (M_1 \cap M_2^0) + \dim (M_2 + M_1^0) = \dim E + \dim (M_1 \cap E^0)$ (considérer l’application canonique de $E$ sur $E/E^0$).

3) Soient $K$ un anneau commutatif, $f$ un polynôme unitaire de $K[X]$, de degré $n \geqslant 1$; soit $A$ l’algèbre quotient $K[X]/(f)$ admettant pour base sur $K$ les éléments $1, \xi, \xi^2, \ldots, \xi^{n-1}$ (chap. IV, § 1, no 5, prop. 4). Montrer que la donnée d’un $A$-module $E$ équivaut à la donnée d’un $K$-module $E_0$ et d’un $K$-endomorphisme $j$ de $E_0$ tel que $f(j) = 0$. Pour tout $u \in E^*$, on pose $u(x) = \sum_{k=0}^{n-1} u_k(x) \xi^k$; montrer que si $\alpha_0 = f(0)$ est inversible dans $K$, l’application $u \to u_0$ est un $K$-isomorphisme de $E^*$ sur $(E_0)^*$, dont on explicitera l’isomorphisme réciproque.

¶ 4) a) Soient $A$ un anneau (commutatif ou non), $\sigma$ un automorphisme de $A$ tel qu’il existe un élément inversible $\gamma \in A$ vérifiant $\gamma^\sigma = \gamma$, et tel que l’on ait $\xi^{\sigma^2} = \gamma \xi \gamma^{-1}$ pour tout $\xi \in A$. Soit $B$ un $A$-module à gauche ayant une base de deux éléments $(e_1, e_2)$; montrer qu’on définit sur $B$ une structure d’anneau en prenant comme multiplication dans $B$ la loi de composition

Pour cette structure d’anneau, $e_1$ est élément unité (qu’on identifie avec l’élément unité 1 de $A$); si on pose $e_2 = \rho$, on a $\rho^2 = \gamma$ et $\rho \xi = \xi^\sigma \rho$ pour tout $\xi \in A$; en outre, $B$ est un $A$-module à droite, dont 1 et $\rho$ forment une base. Si $A$ est un corps, une condition nécessaire et suffisante pour que $B$ soit un corps est que $\gamma$ ne soit pas de la forme $\lambda^\sigma \lambda$ (où $\lambda \in A$). (Cf. chap. VIII, § 12, exerc. 8).

b) Soit $J$ un antiautomorphisme involutif de $A$. On suppose qu’il existe un élément inversible $\delta \in A$ satisfaisant aux conditions suivantes :

(1) $\delta^J = \delta, \quad \delta^\sigma \delta = \gamma \gamma^J, \quad (\xi^J)^\sigma = \delta (\xi^\sigma)^J \delta^{-1}$ pour tout $\xi \in A$.

Montrer qu’on peut alors prolonger $J$ en un antiautomorphisme involutif de $B$ (noté encore $J$) en posant

(2)

Si en outre $A$ et $B$ sont des corps et si $\sigma$ n’est pas un automorphisme intérieur, montrer que les conditions (1) sont nécessaires pour l’existence d’un prolongement de $J$ en un antiautomorphisme involutif de $B$ (en posant $\rho^J = \alpha + \beta \rho$, avec $\alpha, \beta$ dans $A$, montrer qu’on a nécessairement $\alpha = 0$, en écrivant la condition $(\rho \xi)^J = \xi^J \rho^J$ pour tout $\xi \in A$).

c) On suppose les conditions (1) vérifiées et l’antiautomorphisme involutif J prolongé à B par (2). Soient F un B-module unitaire, E le A-module unitaire déduit de F par restriction à A de l’anneau des scalaires ; l’application $j : x \to \rho x$ est alors une application semi-linéaire bijective de E sur lui-même, relative à l’automorphisme $\sigma$ de A et telle que $j^2(x) = \gamma x$. Soit $\Phi$ une forme hermitienne sur F (pour J) ; pour $x \in E$, $y \in E$, posons $\Phi(x, y) = \Phi_1(x, y) + \Phi_2(x, y)\rho$, où $\Phi_1(x, y) \in A$, $\Phi_2(x, y) \in A$. Montrer que $\Phi_1$ est une forme hermitienne sur E (pour J), telle que

on a $\Phi_2(x, y) = \Phi_1(x, j(y))\delta^{-1}$, $\Phi_2$ est une forme sesquilinéaire sur E pour l’antiautomorphisme (en général non involutif) $\xi \to (\xi^J)^{\sigma}$, telle que et

Réciproques. Pour que $\Phi$ soit non dégénérée, il faut et il suffit que $\Phi_1$ ou $\Phi_2$ soit non dégénérée. Cas particulier où B est une algèbre de quaternions sur un anneau commutatif K, correspondant à une couple $(\alpha, \beta)$ d’éléments de K, $\beta$ étant inversible, A la sous-algèbre $K + Ku$ de B, et J et $\sigma$ l’application $\xi \to \bar{\xi}$ (chap. II, § 7, no 8).

d) Soit $u$ un automorphisme du A-module E. Pour que $u$ soit un automorphisme du B-module F, laissant invariante la forme $\Phi$, il faut et il suffit que $u$ satisfasse à deux quelconques des trois conditions suivantes : 1° $u$ laisse invariante $\Phi_1$; 2° $u$ laisse invariante $\Phi_2$; 3° $u$ permuté avec $j$.

5) Soient A un anneau commutatif, E un A-module, $(x_i)_{i \in I}$ un système de générateurs de E ; soit R le sous-module du module $A^{(1)}$ formé des éléments $(y_i)_{i \in I}$ tels que $\sum_i y_i x_i = 0$, et soit $(a_{\lambda})_{\lambda \in L}$ un système de générateurs de R (avec $a_{\lambda} = (a_{\lambda i})_{i \in I}$). Soit $(b_{ij})$ une famille d’éléments de A $(i \in I, j \in I)$. Pour qu’il existe une forme quadratique Q telle que $Q(x_i) = b_{ii}$ et $\Phi(x_i, x_j) = b_{ij}$ pour $i \neq j$ ($\Phi$ désignant la forme bilinéaire associée à Q), il faut et il suffit que $b_{ij} = b_{ji}$ quels que soient $i, j$ dans I, et que, quels que soient $\lambda \in L$ et $i \in I$, on ait

on a alors $Q(\sum a_i x_i) = \sum_{\{i, j\}} b_{ij} a_i a_j$. En déduire une nouvelle démonstration de la prop. 3 du no 4. (Remarquer que les $x'_i = 1 \otimes x_i$ forment un système de générateurs de $A' \otimes_A E$, et que le $A'$-module $A' \otimes_A E$ est isomorphe à ${A'}^{(1)}/R'$, où ${A'}^{(1)}$ est identifié à $A' \otimes_A A^{(1)}$ et $R'$ est engendré par l’image de R par l’application canonique de $A^{(1)}$ dans ${A'}^{(1)}$.

6) Soient $A$ un anneau commutatif de caractéristique 2, $E$ un $A$-module libre, $\mathscr{A}$ (resp. $\mathscr{S}$, $\mathscr{Q}$) le $A$-module des formes bilinéaires alternées (resp. bilinéaires symétriques, quadratiques) sur $E$. On a $\mathscr{A} \subset \mathscr{S}$; on définit en outre une application linéaire $\omega$ de $\mathscr{S}$ dans $\mathscr{Q}$, et une application linéaire $\theta$ de $\mathscr{Q}$ dans $\mathscr{A}$ de la façon suivante : pour toute forme bilinéaire $\Phi \in \mathscr{S}$, $\omega(\Phi)$ est la forme quadratique $x \to \Phi(x, x)$, et pour toute forme quadratique $Q \in \mathscr{Q}$, $\theta(Q)$ est la forme bilinéaire associée à $Q$, qui est alternée. Montrer que $\omega(0) = \mathscr{A}$, $\theta(\mathscr{Q}) = \mathscr{A}$ et $\theta(0) = \omega(\mathscr{S})$.

¶ 7) Soient $A$ un anneau commutatif, $E, F$ deux $A$-modules. On dit qu’une application $Q$ de $E$ dans $F$ est quadratique si elle satisfait aux conditions suivantes : $1^\circ$ $Q(\alpha x) = \alpha^2 Q(x)$ pour $\alpha \in A, x \in E$; $2^\circ$ l’application $(x, y) \to Q(x + y) - Q(x) - Q(y)$ de $E \times E$ dans $F$ est bilinéaire. Si $f$ est une application linéaire d’un $A$-module $E_1$ dans $E$, $Q \circ f$ est une application quadratique de $E_1$ dans $F$.

a) Soient $E$ un $A$-module, $A^{(E)}$ le module des combinaisons linéaires formelles des éléments de $E$ à coefficients dans $A$ (chap. II, § 1, no 8), et pour tout $x \in E$, soit $\varepsilon_x$ l’élément correspondant de la base canonique de $A^{(E)}$. Soit $\Gamma^2(E)$ le quotient de $A^{(E)} \times (E \otimes_A E)$ par le sous-module $R$ engendré par les éléments $(\varepsilon_{x+y} - \varepsilon_x - \varepsilon_y, -x \otimes y)$ et $(\varepsilon_{\lambda x} - \lambda^2 \varepsilon_x, 0)$, pour $x \in E, y \in E, \lambda \in A$. Pour tout $x \in E$, on pose $\gamma(x) = \varphi(\varepsilon_x, 0)$, en désignant par $\varphi$ l’application canonique de $A^{(E)} \times (E \otimes E)$ sur $\Gamma^2(E)$; on dit que $\gamma$ est l'*application canonique* de $E$ dans $\Gamma^2(E)$. Montrer que $\gamma$ est une application quadratique de $E$ dans $\Gamma^2(E)$ et que, pour toute application quadratique $Q$ de $E$ dans un $A$-module $F$, il existe une application linéaire et une seule $q$ de $\Gamma^2(E)$ dans $F$ telle que $Q = q \circ \gamma$ (en d’autres termes, $(\Gamma^2(E), \gamma)$ est solution d’un problème d’application universelle ; cf. Ens., chap. IV, § 3).

Pour tout couple de $A$-modules $E, E'$ et toute application linéaire $f$ de $E$ dans $E'$, montrer que, si $\gamma'$ désigne l’application canonique de $E'$ dans $\Gamma^2(E')$, il existe une et une seule application linéaire $\bar{f}$ de $\Gamma^2(E)$ dans $\Gamma^2(E')$ telle que $\gamma' \circ f = \bar{f} \circ \gamma$.

b) On suppose que $E$ est somme directe de deux sous-modules $M, N$. Définir un isomorphisme canonique de $\Gamma^2(E)$ sur la somme directe des modules $\Gamma^2(M), \Gamma^2(N)$ et $M \otimes N$ (montrer que cette somme directe est solution du même problème d’application universelle que $\Gamma^2(E)$).

c) Soient $F$ un sous-module de $E$, $j$ l’injection canonique de $F$ dans $E$. Définir un isomorphisme canonique de $\Gamma^2(E/F)$ sur

où $\psi(x, y) = \varphi(0, x \otimes j(y))$ pour $x \in E, y \in F$. (Même méthode).

d) Soient $A'$ un anneau commutatif, $h$ un homomorphisme de $A$ dans $A'$. Définir un isomorphisme canonique de $\Gamma^2(A' \otimes_A E)$ sur $A' \otimes_A \Gamma^2(E)$ (même méthode).

e) Il existe une application linéaire et une seule $s$ de $\Gamma^2(E)$ dans $E \otimes E$ telle que $s(\gamma(x)) = x \otimes x$ pour tout $x \in E$; montrer que si $E$ est un module libre, s est un isomorphisme sur le sous-module des tenseurs symétriques d’ordre 2 sur E.

f) On suppose que $A = \mathbf{Z}$ et que E est un groupe cyclique fini d’ordre n. Montrer que $\Gamma^2(E)$ est un groupe cyclique d’ordre n si n est impair, d’ordre $2n$ si n est pair. (Remarquer d’abord que si a est un générateur de E, $\gamma(a)$ est un générateur de $\Gamma^2(E)$, et que $\gamma(-ha) = \gamma(ha)$ pour tout entier h ; déduire de là que si n est impair, $n\gamma(a) = 0$ en prenant $h = (n-1)/2$; montrer de même que $2n\gamma(a) = 0$ si n est pair. Prouver enfin que si n est impair (resp. pair), il existe une application quadratique Q de E dans un groupe cyclique d’ordre n (resp. $2n$) appliquant a sur un générateur de ce groupe).

8) Soient A un corps commutatif, E, F deux espaces vectoriels sur A. Soit g une application de E dans F, telle qu’il existe trois applications $a, b, c$ de $E \times E$ dans F, satisfaisant à l’identité

quels que soient $x, y$ dans E, $\lambda, \mu$ dans A.

a) Montrer que l’on a $a(x, y) = g(x), c(x, y) = g(y), b(y, x) = b(x, y)$ et $b(\lambda x, y) = \lambda b(x, y)$; en outre, si on pose

montrer que l’on a $d(x, y, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y)$ et en conclure que $d(\lambda x, \mu y, v z) = \lambda \mu v d(x, y, z)$.

b) Déduire de a) que si $A \neq \mathbf{F}_2$, on a nécessairement $d(x, y, z) = 0$ et par suite que g est une application quadratique (exerc. 7). Au contraire, si $A = \mathbf{F}_2$ et si dim E $\geqslant 3$, montrer qu’il existe des applications g de E dans A, satisfaisant à (4) et pour lesquelles $d(x, y, z)$ ne soit pas identiquement nul.

9) Soient A un anneau commutatif, E un A-module ayant une base de n éléments, $\Phi$ une forme bilinéaire symétrique sur E. Soient e un élément de $\bigwedge^n E$ formant une base de ce module, $\Delta$ le discriminant de $\Phi$ par rapport à e, $\varphi_p$ l’isomorphisme canonique de $\bigwedge^p E$ sur $\bigwedge^{n-p} E^*$ relatif à e (chap. III, § 8, no 5). Pour $x \in \bigwedge^p E$, soit $d_{(p)}(x) = \varphi_{n-p}^{-1}(d_{\Phi_{(p)}}(x))$; montrer que l’application $d_{(p)}$ de $\bigwedge^p E$ dans $\bigwedge^{n-p} E$ possède les propriétés suivantes :

a) Pour tout $x \in \bigwedge^p E$, $d_{(n-p)}(d_{(p)}(x)) = (-1)^{p(n-p)} \Delta x$.

b) Pour tout couple d’éléments $x, y$ de $\bigwedge^p E$, on a

c) On suppose en outre que A soit un corps et que $\Phi$ soit non dégénérée. Alors, si x est un p-vecteur décomposable $\neq 0$ correspondant à un sous-espace F de E (chap. III, § 7, no 3), $d_{(p)}(x)$ est un $(n-p)$-vecteur décomposable $\neq 0$ correspondant au sous-espace $F^0$ orthogonal à F.

d) Étendre les résultats précédents au cas où (A étant un anneau commutatif), Φ est une forme sesquilinéaire ε-hermitienne pour un automorphisme involutif J ≠ 1 de A.

10) a) Soient A un anneau commutatif, E un A-module ayant une base de 3 éléments, Φ une forme bilinéaire symétrique sur E. Avec les notations de l’exerc. 9, pour deux éléments quelconques x, y de E, on pose $x \overline{\wedge} y = d_{(2)}(x \wedge y)$, et on dit que cet élément est le produit vectoriel de x et de y (relativement à Φ et à la base e de $\bigwedge^3 E$). Montrer que $(x, y) \to x \overline{\wedge} y$ est une application bilinéaire alternée de $E \times E$ dans E, et que $x \overline{\wedge} y$ est orthogonal à x et à y.

b) Soient α, β deux éléments inversibles de A, B l’algèbre de quaternions sur A correspondant au couple ($\alpha, \beta$) (chap. II, § 7, n° 8), 1, u, v, ω la base canonique de B sur A ; soit E le sous-module de B ayant pour base u, v, ω. Montrer que si x, y sont deux quaternions appartenant à E, on a

où Φ est une forme bilinéaire symétrique sur E, telle que les applications linéaires associées à Φ soient bijectives, et $x \overline{\wedge} y$ est le produit vectoriel de x et de y relatif à la forme Φ et à la base $\alpha^{-1}\beta^{-1}u \wedge v \wedge \omega$ de $\bigwedge^3 E$.

11) Soit Φ une forme sesquilinéaire ε-hermitienne non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie. On dit qu’un sous-espace vectoriel M de E est faiblement orthogonal à un sous-espace vectoriel N (relativement à Φ) si l’un des deux sous-espaces M, N° contient l’autre.

a) Montrer que la relation « M est faiblement orthogonal à N » est symétrique.

b) Si M et N sont faiblement orthogonaux, M° et N° sont faiblement orthogonaux.

c) Si M et N sont faiblement orthogonaux et si $M \cap N = \{0\}$, M et N sont orthogonaux.