En effet, comme $\Phi$ est une forme sesquilinéaire, on a $\Phi(y_i, y_j) = \sum_{k,m} a_{ik} \Phi(x_k, x_m) a_{jm}^j$. Donc, si l’on note $A$ la matrice $(a_{ij})$, la matrice $(\Phi(y_i, y_j))$ est égale à $A . (\Phi(x_i, x_j)). {}^t A^j$. Comme $\det({}^t A) = \det(A)$, et que $\det(A^j) = \det(A)^j$, notre assertion est démontrée.

En particulier, si $(e_i)$ et $(e'_i)$ sont deux bases de $E, D$ et $D'$ les discriminants de $\Phi$ par rapport à ces bases, et $a$ le déterminant de la matrice de passage de la base $(e_i)$ à la base $(e'_i)$, on a

Il résulte de la prop. 1 que, si $(e_i)$ est une base de $E$ et $(x_i)$ un système quelconque de $n$ éléments de $E$, $D_\Phi(e_1, \ldots, e_n)$ divise $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n)$. En particulier les discriminants de $\Phi$ par rapport à deux bases quelconques de $E$ engendrent le même idéal principal de $A$.

Soient $(E_i)_{i \in I}$ une famille finie de $A$-modules libres de dimensions finies, $\Phi_i$ une forme sesquilinéaire pour $J$ sur $E_i$, et $B_i$ une base de $E_i$. Si $\Phi$ désigne la somme directe des $\Phi_i$ (§ 1, no 3) et $B$ la base de $\prod_{i \in I} E_i$ obtenue par réunion des $B_i$, on a évidemment

Soient $\Phi$ une forme sesquilinéaire pour $J$ sur $E$, $h$ un homomorphisme de $A$ dans un anneau commutatif $A'$, $\Phi'$ la forme sesquilinéaire sur $A' \otimes_A E$ obtenue par extension de $\Phi$ (§ 1, no 4) et $(x_1, \ldots, x_n)$ un système quelconque d’éléments de $E$. Comme $A' \otimes_A E$ est un $A'$-module libre, $D_{\Phi'}(1 \otimes x_1, \ldots, 1 \otimes x_n)$ est défini, et on a évidemment

a) Pour qu’un système $(x_1, \ldots, x_n)$ de $n$ éléments de $E$ soit libre, il faut et il suffit que $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n)$ soit $\neq 0$.

b) Pour qu’un système $(x_1, \ldots, x_n)$ de $n$ éléments de $E$ soit une base de $E$, il faut et il suffit que $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n)$ et $D_\Phi(e_1, \ldots, e_n)$ soient des éléments associés dans $A$ (cf. chap. VI, § 1, no 5).

Posons $x_j = \sum_{i=1}^n a_{ji} e_i$ ($a_{ji} \in A$). Démontrons d’abord a). Si $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n) = 0$, on a $\det(a_{ji}) \cdot \det(a_{ji})' = 0$ (prop. 1) puisque $D_\Phi(e_1, \ldots, e_n) \neq 0$ et que $A$ est intègre ; on a donc $\det(a_{ji}) = 0$, et les vecteurs $x_j$ sont linéairement dépendants (chap. III, § 7, no 1, th. 1, appliqué à l’espace vectoriel $K \otimes_A E$, où $K$ désigne le corps des fractions de $A$). Réciproquement, si ces vecteurs sont linéairement dépendants on a $\det(a_{ji}) = 0$ (ibid.), d’où $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n) = 0$ (prop. 1).

Démontrons maintenant b). Si $D_\Phi(x_1, \ldots, x_n)$ et $D_\Phi(e_1, \ldots, e_n)$ sont associés dans $A$, la prop. 1 montre que $\det(a_{ij}) \cdot \det(a_{ij})'$ est inversible dans $A$. Ainsi $\det(a_{ij})$ est lui aussi inversible dans $A$; donc la matrice $(a_{ij})$ sur $A$ est inversible (chap. III, § 6, no 5, th. 2), et l’endomorphisme $g$ de $E$ défini par $g(e_i) = x_i$ ($i = 1, \ldots, n$) est un automorphisme ; par conséquent $(x_1, \ldots, x_n)$ est une base de $E$. La réciproque résulte aussitôt de la prop. 1.

a) L’application $s_\Phi$ de $E$ dans $E^*$ associée à $\Phi$ est bijective.

b) L’application $d_\Phi$ de $E$ dans $E^*$ associée à $\Phi$ est bijective.

c) L’élément $D_\Phi(S)$ est inversible dans $A$.

En effet la condition c) exprime que la matrice de $\Phi$ par rapport à $S$ est inversible (chap. III, § 6, no 5, th. 2). Donc c) est équivalente à a) ($§ 1,$ no 10) ; de même c) est équivalente à b).

Soit en effet K le corps des fractions de A, et soit $\Phi'$ l’extension de $\Phi$ au K-espace vectoriel $K \otimes_A E$; identifions E à une partie de cet espace vectoriel. La relation $D_{\Phi}(S) \neq 0$ est alors équivalente à $D_{\Phi'}(S) \neq 0$ (formule (6)), qui elle-même exprime que $s_{\Phi'}$ est bijective (prop. 3), c’est-à-dire que $\Phi'$ est non dégénérée (§ 1, no 6, prop. 6). Or, pour tout $x \in K \otimes_A E$, il existe $a \in A$ tel que $ax \in E$; par suite, pour que $\Phi$ soit dégénérée, il faut et il suffit que $\Phi'$ le soit. Ceci démontre notre assertion.

Soient en effet $A'$ la clôture algébrique de A, et $B'$ l’algèbre $A' \otimes_A B$ sur $A'$. Si B est séparable, $B'$ est semi-simple (chap. VIII, § 7, no 5, cor. de la prop. 7) et est donc composée directe de n corps isomorphes à $A'$ (chap. VIII, § 6, no 4, cor. de la prop. 9). Si $S'$ désigne la base canonique de $B'$ (identifiée à ${A'}^n$), on a $D_{B'/A'}(S') = 1$, d’où $D_{B'/A'}(S) \neq 0$ (prop. 1) et $D_{B/A}(S) \neq 0$ (formule (6)).

Réciproquement supposons que l’on ait $D_{B/A}(S) \neq 0$. Pour montrer que B est séparable, il suffit de montrer que $B'$ est semi-simple, c’est-à-dire qu’elle n’admet pas d’élément nilpotent $\neq 0$. Or, si $x'$ était un élément nilpotent non nul de $B'$, on pourrait le prendre comme premier élément d’une base $S'$ de $B'$, et on aurait alors $\mathrm{Tr}_{B'/A'}(x'y') = 0$ pour tout $y' \in S'$ puisqu’un endomorphisme nilpotent a ses valeurs propres nulles (chap. VII, § 5, no 3, cor. 3 de la prop. 8), donc une trace nulle. Il en résulterait que $D_{B'/A'}(S') = 0$, d’où $D_{B'/A'}(S) = 0$ (prop. 1) et $D_{B/A}(S) = 0$ (formule (6)), contrairement à l’hypothèse.

Les deux premières assertions étant évidentes, il suffit de démontrer (7). Par définition le premier membre est le déterminant de l’endomorphisme K-linéaire $u$ de E défini par

Considérons l’endomorphisme A-linéaire $v$ de E défini par $v(e_i) = \sum_s \Phi(e_i, e_s) e_s$, et l’endomorphisme K-linéaire $w$ de E défini par $w(a_j e_i) = (\sum_r \mathrm{Tr}_{A/K}(a_j a_r) a_r) e_i$. On a

puisque $w(a e_s) = \sum_r \mathrm{Tr}_{A/K}(a a_r) a_r e_s$ pour tout $a \in A$; ainsi $u$ est l’application composée $w \circ v$. Donc, en notant $v_K$ l’application $v$ considérée comme application K-linéaire, on a $\det(u) = \det(v_K) \det(w)$. Or on a $\det(v_K) = N_{A/K}(\det(v))$ (chap. VIII, § 12, no 2, prop. 7), et il est clair que $\det(v) = D_\Phi(e_1, \ldots, e_n)$. D’autre part, comme chacun des A-modules $Ae_i (i = 1, \ldots, n)$ est stable pour $w$, et que le déterminant de la restriction de $w$ à $Ae_i$ est $\det(\mathrm{Tr}_{A/K}(a_j a_r)) = D_{A/K}(a_1, \ldots, a_q)$, on a $\det(w) = (D_{A/K}(a_1, \ldots, a_q))^n$. La formule (8) se réduit donc à $\det(u) = \det(v_K) \det(w)$, formule démontrée ci-dessus.

En effet, si l’on pose $\Phi(x, y) = \operatorname{Tr}_{E/A}(xy)$, la forme K-bilinéaire $\Phi'$ de la prop. 6 est $\Phi'(x, y) = \operatorname{Tr}_{E/K}(xy)$ d’après la formule de transitivité des traces (Chap. VIII, § 12, n° 2, cor. de la prop. 7).

Exercices. — 1) Soit A une algèbre de rang fini sur un corps commutatif K, ayant un élément unité. a) Montrer que si le radical de A n’est pas nul, la forme bilinéaire $(x, y) \to \operatorname{Tr}_{A/K}(xy)$ sur A est dégénérée. b) On suppose que K est de caractéristique 0. Montrer que si A est une algèbre de matrices $M_n(K)$, S la base canonique de A sur K, on a $D_{A/K}(S) \neq 0$. c) Déduire de a) et b) que, pour qu’une algèbre A de rang fini sur un corps K de caractéristique 0 soit absolument semi-simple, il faut et il suffit que la forme bilinéaire $(x, y) \to \operatorname{Tr}_{A/K}(xy)$ soit non dégénérée (ou, ce qui revient au même, que $D_{A/K}(S) \neq 0$ pour toute base S de A sur K).

¶ 2) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B contenant l’élément unité de B ; B est donc un (A, A)-bimodule ; on désigne par $^sB$ (resp. $^dB$) l’ensemble B considéré comme A-module à gauche (resp. à droite), par $^sB^*$ (resp. $^dB^*$) le A-module à droite (resp. à gauche) dual de $^sB$ (resp. $^dB$). Pour tout $x' \in ^sB^*$ et tout $b \in B$, $x \to \langle xb, x' \rangle$ est une forme A-linéaire sur $^sB$, donc un élément de $^sB^*$ qu’on désigne par $bx'$ ; l’application $(b, x') \to bx'$ définit sur $^sB^*$ une structure de B-module à gauche (cf. chap. III, 2e éd., App. II, n° 7). a) Soit $\varphi$ un homomorphisme du (A, A)-bimodule B dans le (A, A)-bimodule A ; pour que l’application A-bilinéaire $\Phi : (x, y) \to \varphi(xy)$ de $^sB \times ^dB$ dans A soit non dégénérée, il faut et il suffit que $\varphi(0)$ ne contienne aucun idéal (à gauche ou à droite) de B distinct de $\{0\}$. On dit alors que $\varphi$ est un homomorphisme frobeniusien de B dans A. b) Soit $\varphi$ un homomorphisme frobeniusien de B dans A ; montrer que l’application $d_\varphi$ associée à droite à $\Phi$ est un isomorphisme du B-module à gauche $B_s$ sur un sous-module du B-module à gauche $^sB^*$. Montrer que $d_\varphi$ est bijectif dans chacun des deux cas suivants : 1° A est un anneau artinien à gauche et à droite satisfaisant aux conditions (N_s) et (N_d) (§ 1, exerc. 11), et $^sB$ et $^dB$ sont des A-modules libres de longueurs finies (utiliser l’exerc. 11 b) du § 1) ; 2° A est un anneau artinien commutatif et involutif (chap. VIII, § 3, exerc. 11), contenu dans le centre de B, et $^sB$ est un A-module de longueur finie (utiliser l’exerc. 11 du chap. VIII, § 3).

c) Réciproquement, montrer que si $B_s$ et $^sB^*$ sont isomorphes, il existe un homomorphisme frobeniusien de B dans A lorsqu’on est dans l’un des deux cas considérés dans b) et que $^sB$ et $^dB$ ont même longueur (utiliser l’exerc. 11 b) du § 1).

d) Avec les hypothèses et notations de a), montrer que l’annulateur à droite (resp. à gauche) d’un idéal à gauche I (resp. d’un idéal à droite r) de B, est l’orthogonal $l^0$ (resp. $r^0$) pour la forme $\Phi$ du sous-module I (resp. r) de $^sB$ (resp. $^dB$).

e) Soit $\varphi$ un homomorphisme frobeniusien de B dans A. Montrer que si A est un anneau artinien involutif (chap. VIII, § 3, exerc. 11) il en est de même de B, lorsqu’on suppose en outre que l’une ou l’autre des conditions de b) est vérifiée (utiliser b) et d)).

¶ 3) Soient A un corps commutatif, B une algèbre de rang fini sur A, ayant un élément unité.

a) Pour que B soit une algèbre frobeniusienne, il faut et il suffit qu’il existe un homomorphisme frobeniusien de B dans A (exerc. 2). (Utiliser l’exerc. 2 c) et e) ci-dessus, et l’exerc. 6 b) du chap. VIII, § 13).

b) Soit $\varphi$ un homomorphisme frobeniusien de B dans A ; toute forme A-linéaire sur B peut alors s’écrire d’une seule manière $x \to \varphi(b'x)$ (resp. $x \to \varphi(xb'')$) où $b'$ et $b''$ appartiennent à B ; pour que cette forme soit un homomorphisme frobeniusien, il faut et il suffit que $b'$ (resp. $b''$) soit inversible dans B.

c) Pour tout $x \in B$, soit $x^\sigma$ l’unique élément (cf. b)) tel que $\varphi(xy) = \varphi(yx^\sigma)$ pour tout $y \in B$. Montrer que $x \to x^\sigma$ est un A-automorphisme de B. On dit que l’algèbre frobeniusienne B est symétrique si $\sigma$ est un automorphisme intérieur de B ; il y a alors un homomorphisme frobeniusien de B dans A pour lequel $\sigma$ est l’identité (cf. b)). Il revient au même de dire que les (B, B)-bimodules B et $^sB^* = ^dB^*$ (qu’on écrit B*) sont isomorphes (exerc. 2 c)).

d) Soient E un B-module à gauche de longueur finie, E’ son dual, E’* le dual de E’ considéré comme espace vectoriel sur A ; E’* est muni d’une structure de B-module à gauche en posant, pour $x' \in E'$, $x'' \in {E'}^*$, $b \in B$, $\langle x', bx'' \rangle = \langle x'b, x'' \rangle$ (chap. III, 2e éd., App. II, n° 7). Pour tout $x \in E$, soit $f_E(x)$ (ou simplement $f(x)$) l’élément de E’*tel que $\langle x', f(x) \rangle = \varphi(\langle x, x' \rangle)$ pour tout $x' \in E'$; montrer que $f$ est une bijection semi-linéaire pour l’automorphisme $\sigma$, du B-module à gauche E sur le B-module à gauche E’* (utiliser l’exerc. 10 du chap. VIII, § 4). Pour $E = B_s$, on a (avec les notations de l’exerc. 2 b)) $d_\Phi(x^\sigma) = f_{B_s}(x)$ pour tout $x \in B$.

4) a) Soit G un groupe fini. Montrer que l’algèbre B du groupe G sur un corps commutatif quelconque A est une algèbre frobeniusienne symétrique (exerc. 3). (Considérer l’application $\varphi$ de B dans A qui, à tout élément $x = \sum_{s \in G} \xi_s . s$, associe $\varphi(x) = \xi_e$, e désignant l’élément neutre de G).

b) Soient E un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps commutatif A, et B l’algèbre extérieure $\wedge E$. Montrer que B est une algèbre frobeniusienne. (Si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de E, considérer l’application qui à tout élément $x$ de B associe le coefficient de $e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_n$ dans l’expression de $x$ à l’aide de la base de B correspondant à $(e_i)$). Pour que l’algèbre frobeniusienne B soit symétrique, il faut et il suffit que $n$ soit pair ou A de caractéristique 2.

¶ 5) a) Montrer que le produit tensoriel de deux algèbres frobeniusiennes (resp. frobeniusiennes et symétriques) de rang fini sur un corps commutatif K est une algèbre frobeniusienne (resp. frobeniusienne et symétrique) (cf. § 1, n° 9, prop. 9).

b) Soient B une algèbre de rang fini sur K, L une extension de K de degré fini sur K. Montrer que si l’algèbre $B_{(L)} = B \otimes_K L$ sur L est frobeniusienne (resp. frobeniusienne et symétrique), il en est de même de B. (Utiliser les exerc. 2 c) et 3 c) ci-dessus et l’exerc. 2 du chap. VIII, § 2).

6) Montrer que toute algèbre absolument semi-simple B de rang fini sur un corps commutatif A est une algèbre frobeniusienne symétrique. (Se ramener au cas où B est simple ; utiliser l’exerc. 5 b) ci-dessus, ainsi que la prop. 9 du chap. VIII, § 12, n° 3).