(tương ứng $\Phi(x, x') = - \Phi_2(x, j'(x')) + i \Phi_2(x, x')$)

$(x \in E, x' \in E)$, là một đẳng cấu từ không gian vectơ trên K của các dạng song tuyến tính trên K trên $E_0 \times E'_0$ bất biến dưới $j$ và $j'$ lên không gian vectơ trên K của các dạng sesquilinear trên $E \times E'$. Giả sử thêm rằng $E = E'$; để $\Phi$ là Hermit, điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ đối xứng (tương ứng là $\Phi_2$ phản đối xứng) (xem Bài tập 4).

Thật vậy, mọi ánh xạ $\Phi$ từ $E \times E'$ vào $A$ đều có thể viết, theo một và chỉ một cách, dưới dạng $\Phi = \Phi_1 + i \Phi_2$, trong đó $\Phi_1$ và $\Phi_2$ là các ánh xạ từ $E \times E'$ vào $K$. Để ánh xạ riêng phần $x \to \Phi(x, x')$ là A-tuyến tính, theo công thức (3) (tương ứng (4)) của No. 2, điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ (tương ứng $\Phi_2$) là K-tuyến tính theo $x$ và có

(tương ứng $\Phi(x, x') = \Phi_2(j(x), x') + i \Phi_2(x, x')$).

Tương tự, để $\overline{\Phi}(x, x')$ là A-tuyến tính theo $x'$, điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ (tương ứng $\Phi_2$) là K-tuyến tính theo $x'$ và có

(tương ứng $\Phi(x, x') = - \Phi_2(x, j'(x')) + i \Phi_2(x, x')$).

Suy ra ngay lập tức rằng, để $\Phi$ là sesquilinear, điều kiện cần và đủ là nó được viết dưới một hoặc dạng kia trong các dạng (9) và (11) (tương ứng (10) và (12)) với $\Phi_1$ (tương ứng $\Phi_2$) là một dạng song tuyến tính trên K bất biến dưới $j$ và $j'$.

Từ đó suy ra rằng, để một dạng sesquilinear $\Phi = \Phi_1 + i \Phi_2$ bằng không, điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ (tương ứng $\Phi_2$) bằng không. Bây giờ, nếu $E = E'$, ta có $\Phi(y, x) = \Phi_1(y, x) + i \Phi_2(y, x)$ và $\overline{\Phi(x, y)} = \Phi_1(x, y) - i \Phi_2(x, y)$; để hai biểu thức này bằng nhau, nói cách khác để $\Phi$ là Hermit, do đó điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ đối xứng (tương ứng là $\Phi_2$ phản đối xứng).

Thật vậy, vì công thức (16) chỉ là một bản chép lại của công thức (14), nên tính duy nhất của một dạng toàn phương $Q$ thỏa mãn (15) đã được chứng minh. Để chứng minh sự tồn tại của nó, trước hết ta nhận thấy rằng tồn tại một họ $(b'_{ij})$ các phần tử của $A$ sao cho $b'_{ii} = b_{ii}$ và $b'_{ij} + b'_{ji} = b_{ij}$ với $i \neq j$; chẳng hạn, ta thu được một họ như vậy bằng cách trang bị cho $I$ một cấu trúc tập hợp có thứ tự (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 2, No. 3, Định lý 1) và đặt $b'_{ij} = b_{ij}$ khi $i < j$ và $b'_{ij} = 0$ khi $i > j$. Vì các $e_i$ lập thành một cơ sở của $E$, nên tồn tại một dạng song tuyến tính $f$ trên $E \times E$ sao cho $f(e_i, e_j) = b'_{ij}$; đặt $Q'(x) = f(x, x)$ và ký hiệu bởi $\Phi'$ dạng song tuyến tính liên kết với dạng toàn phương $Q'$, ta thu được $Q'(e_i) = b_{ii}$ và $\Phi'(e_i, e_j) = f(e_i, e_j) + f(e_j, e_i) = b_{ij}$. Điều này chứng minh mệnh đề thứ hai của chúng ta. Còn mệnh đề thứ nhất, nó suy ra ngay lập tức, vì do tính duy nhất, nếu một dạng toàn phương $Q$ thỏa mãn (15), thì ta có $Q(x) = Q'(x) = f(x, x)$.

Môđun $E$ được trang bị cấu trúc xác định bởi một dạng toàn phương $Q$ được gọi là một môđun toàn phương. Một đồng cấu từ môđun toàn phương $(E, Q)$ vào một môđun toàn phương $(E', Q')$ là một ánh xạ tuyến tính $u$ từ $E$ vào $E'$ sao cho $Q = Q' \circ u$; nếu $\Phi$ và $\Phi'$ là các dạng song tuyến tính liên kết với $Q$ và $Q'$, thì khi đó ta có $\Phi(x, y) = \Phi'(u(x), u(y))$ với $x \in E,\ y \in E$; nói cách khác $\Phi'$ là ảnh ngược của $\Phi$ bởi $u$ (§ 1, No. 1). Ta nói rằng hai dạng toàn phương $Q$ và $Q'$ trên hai $A$-môđun $E$ và $E'$ là tương đương nếu các môđun toàn phương tương ứng là đẳng cấu.

Cho $(E_i, Q_i)_{i \in I}$ là một họ các môđun toàn phương, và $E$ là tổng trực tiếp của các môđun $E_i$. Tổng trực tiếp ngoài của các môđun toàn phương $(E_i, Q_i)$ là môđun toàn phương thu được bằng cách trang bị cho $E$ dạng toàn phương $Q$ xác định bởi $Q(\sum_i x_i) = \sum_i Q_i(x_i)$ với $x_i \in E_i$. Ta cũng nói rằng dạng toàn phương $Q$ là tổng trực tiếp ngoài của các dạng toàn phương $Q_i$.

Nếu các dạng $Q_i$ là không suy biến, thì $Q$ cũng vậy.

Cho $Q$ là một dạng toàn phương trên $A$-môđun $E$; nếu $F$ là một môđun con của $E$ và nếu $Q$ là hằng trên mỗi lớp modulo $F$, thì ánh xạ $\overline{Q}$ từ $E/F$ vào $A$ suy ra từ $Q$ bằng cách chuyển qua thương hiển nhiên là một dạng toàn phương, và ánh xạ chính tắc từ $E$ lên $E/F$ là một đồng cấu đối với các cấu trúc môđun toàn phương. Để $Q$ là hằng trên mỗi lớp modulo $F$, điều kiện cần và đủ là ta có $Q(x + y) = Q(x)$ với $x \in E$ và $y \in F$, nghĩa là, ký hiệu bởi $\Phi$ dạng song tuyến tính liên kết với $Q$, ta có $Q(y) + \Phi(x, y) = 0$ với $y \in F$ và $x \in E$. Lấy $x = 0$, ta thấy rằng ta có $Q(y) = 0$ với $y \in F$, và do đó

$\Phi(x, y) = 0$ với $x \in E$ và $y \in F$. Nói cách khác, nếu ta gọi hạt nhân của môđun toàn phương $(E, Q)$ là tập hợp $N$ các phần tử $x$ của $E$ sao cho $Q(x) = 0$ và $\Phi(x, z) = 0$ với mọi $z \in E$, thì để $Q$ là hằng trên mỗi lớp modulo $F$, điều kiện cần và đủ là $F$ được chứa trong hạt nhân $N$ của $(E, Q)$. Ta kiểm tra được ngay rằng $N$ là một môđun con của $E$. Do đó, để $Q$ là hằng trên mỗi lớp modulo $F$, điều kiện cần và đủ là $F$ được sinh bởi các phần tử của $N$.

Ta thấy ngay lập tức rằng hạt nhân của môđun toàn phương $|E/N$ là $\{0\}$.

Trước hết ta chứng minh rằng, nếu tồn tại một dạng toàn phương $Q'$ thỏa mãn (17), thì nó là duy nhất và dạng song tuyến tính $\Phi'$ liên kết với $Q'$ được thu được bằng phép mở rộng vành vô hướng từ dạng $\Phi$ liên kết với $Q$. Thật vậy khẳng định cuối cùng này suy ra từ việc ta có

với $x \in E, y \in E$. Khi đó công thức (14) cho thấy rằng ta có với $a'_i \in A'$ và $x_i \in E$, điều đó chứng minh tính duy nhất của $Q'$.

Để chứng minh sự tồn tại của $Q'$, trước hết ta sẽ giả sử rằng môđun $E$ có một cơ sở $(e_i)_{i \in I}$. Khi đó tồn tại các phần tử $b_{ij}$ của $A$ sao cho $b_{ij} = b_{ji}$ và $Q(\sum_i a_i e_i) = \sum_{\{i, j\}} b_{ij} a_i a_j$ với $a_i \in A$ (mệnh đề 2). Vì các phần tử $1 \otimes_A e_i$ tạo thành một cơ sở của

$A'$-môđun $A' \otimes_A E$, ta định nghĩa một dạng toàn phương $Q'$ trên môđun sau này bằng cách đặt

với $a'_i \in A'$; do đó, với $x = \sum_i a_i e_i \in E$ điều đó chứng minh sự tồn tại của $Q'$ trong trường hợp này.

Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một hệ các phần tử sinh của $E$, $A^{(t)}$ là môđun các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của $I$ (Chương II, § 1, No. 8), và $(e_i)_{i \in I}$ là cơ sở chính tắc của $A^{(t)}$. Ánh xạ tuyến tính $u$ từ $A^{(t)}$ vào $E$ được xác định bởi $u(e_i) = x_i$ là toàn ánh vì các phần tử $x_i$ sinh ra $E$. Suy ra (Chương III, ấn bản thứ 2, Phụ lục II, No. 5, Mệnh đề 4) rằng ánh xạ $1 \otimes u$ từ $A' \otimes A^{(t)}$ vào $A' \otimes E$ là toàn ánh, và hạt nhân của nó $P'$ được sinh bởi các phần tử có dạng $1 \otimes p$ với $u(p) = 0$. Khi đó, gọi $Q'_1$ là phép mở rộng lên $A' \otimes_A A^{(t)}$ của dạng toàn phương $Q_1 = Q \circ u$ trên $A^{(t)}$. Nếu $p$ là một phần tử của $A^{(t)}$ sao cho $u(p) = 0$, ta có $Q'_1(1 \otimes p) = h(Q_1(p)) = 0$ và (ký hiệu bởi $\Phi'_1$ dạng song tuyến tính liên kết với $Q'_1$) $\Phi'_1(1 \otimes p, 1 \otimes x) = h(\Phi(u(p), u(x))) = 0$ với mọi $x \in A^{(t)}$. Do đó, nếu $u(p) = 0$ ($p \in A^{(t)}$), thì $1 \otimes p$ thuộc hạt nhân của môđun toàn phương $A' \otimes_A A^{(t)}$, và vì thế, như ta đã thấy ở trên, tồn tại một dạng toàn phương $Q'$ trên $A' \otimes_A E$ sao cho $Q'_1 = Q' \circ (1 \otimes u)$. Vì $u$ là toàn ánh, ta thấy rằng $Q'$ thỏa mãn điều kiện (17). Q.E.D.

Dạng toàn phương $Q'$, mà sự tồn tại và tính duy nhất được bảo đảm bởi Mệnh đề 3, được gọi là phép mở rộng của $Q$ lên $A' \otimes_A E$ (đối với $h$). Người ta cũng nói rằng $Q'$ thu được từ $Q$ bằng phép mở rộng vành các vô hướng.

Bài tập. — 1) Cho $A$ là một trường, $E$ là một không gian vectơ trái trên $A$, $\Phi$ là một dạng nửa song tuyến tính trên $E$ (đối với một phản tự đẳng cấu $J$ của $A$). Giả sử hạng (hữu hạn hoặc vô hạn) của $\Phi$ là $\geqslant 2$, và các quan hệ $\Phi(x, y) = 0$ và $\Phi(y, x) = 0$ là tương đương. a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $\lambda \neq 0$ trong $A$ sao cho có $\Phi(y, x) = \lambda (\Phi(x, y))^J$. (Dùng bài tập 8 của § 1). b) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $\alpha \in A$ sao cho dạng nửa song tuyến tính $\Phi \alpha$ (đối với phản tự đẳng cấu $\xi \to \alpha^{-1} \xi^J \alpha$) là Hermit hoặc phản xứng.

(Trước hết chú ý rằng có $\xi^{J^2} = \lambda^{-1} \xi \lambda^{-J}$ và $\lambda \lambda^J = \lambda^J \lambda = 1$. Sau đó phân biệt hai trường hợp tùy theo $\xi + \xi^J \lambda^{-1} = 0$ với mọi $\xi \in A$ hay không; trong trường hợp thứ hai, chứng minh rằng mọi phần tử $\neq 0$ có dạng $\alpha = \xi + \xi^J \lambda^{-1}$ đều thỏa mãn yêu cầu).

2) Cho $\Phi$ là một dạng nửa song tuyến tính $\varepsilon$-Hermit trên một không gian vectơ hữu hạn chiều $E$ trên một trường $A$.

a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi không gian con vectơ $M$ của $E$, ta có $(M^0)^0 = M + E^0$ và $\dim M^0 + \dim M = \dim E + \dim (M \cap E^0)$.

b) Nếu $M_1, M_2$ là hai không gian con vectơ của $E$, bây giờ chứng minh rằng ta có $\dim (M_1 \cap M_2^0) + \dim (M_2 + M_1^0) = \dim E + \dim (M_1 \cap E^0)$ (xét ánh xạ chính tắc từ $E$ lên $E/E^0$).

3) Cho $K$ là một vành giao hoán, $f$ là một đa thức đơn khởi của $K[X]$, bậc $n \geqslant 1$; cho $A$ là đại số thương $K[X]/(f)$ nhận các phần tử $1, \xi, \xi^2, \ldots, \xi^{n-1}$ làm cơ sở trên $K$ (chương IV, § 1, số 5, mệnh đề 4). Bây giờ chứng minh rằng việc cho một $A$-môđun $E$ là tương đương với việc cho một $K$-môđun $E_0$ và một $K$-tự đồng cấu $j$ của $E_0$ sao cho $f(j) = 0$. Với mọi $u \in E^*$, đặt $u(x) = \sum_{k=0}^{n-1} u_k(x) \xi^k$; chứng minh rằng nếu $\alpha_0 = f(0)$ là khả nghịch trong $K$, thì ánh xạ $u \to u_0$ là một $K$-đẳng cấu từ $E^*$ lên $(E_0)^*$, mà đẳng cấu nghịch đảo phải được viết tường minh.

¶ 4) a) Cho $A$ là một vành (giao hoán hay không), $\sigma$ là một tự đẳng cấu của $A$ sao cho tồn tại một phần tử khả nghịch $\gamma \in A$ thỏa mãn $\gamma^\sigma = \gamma$, và sao cho $\xi^{\sigma^2} = \gamma \xi \gamma^{-1}$ với mọi $\xi \in A$. Cho $B$ là một $A$-môđun trái có một cơ sở gồm hai phần tử $(e_1, e_2)$; bây giờ chứng minh rằng một cấu trúc vành được xác định trên $B$ bằng cách lấy làm phép nhân trong $B$ luật hợp thành

Đối với cấu trúc vành này, $e_1$ là phần tử đơn vị (mà ta đồng nhất với phần tử đơn vị 1 của $A$); nếu đặt $e_2 = \rho$, ta có $\rho^2 = \gamma$ và $\rho \xi = \xi^\sigma \rho$ với mọi $\xi \in A$; hơn nữa, $B$ là một $A$-môđun phải, trong đó 1 và $\rho$ lập thành một cơ sở. Nếu $A$ là một trường, điều kiện cần và đủ để $B$ là một trường là $\gamma$ không có dạng $\lambda^\sigma \lambda$ (trong đó $\lambda \in A$). (Xem Chương VIII, § 12, bài tập 8).

b) Cho $J$ là một phản tự đẳng cấu đối hợp của $A$. Giả sử rằng tồn tại một phần tử khả nghịch $\delta \in A$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) $\delta^J = \delta, \quad \delta^\sigma \delta = \gamma \gamma^J, \quad (\xi^J)^\sigma = \delta (\xi^\sigma)^J \delta^{-1}$ for all $\xi \in A$.

Bây giờ chứng minh rằng $J$ có thể được mở rộng thành một phản tự đẳng cấu đối hợp của $B$ (vẫn ký hiệu là $J$) bằng cách đặt

(2)

Hơn nữa, nếu $A$ và $B$ là các trường và nếu $\sigma$ không phải là một tự đẳng cấu trong, bây giờ chứng minh rằng các điều kiện (1) là cần thiết cho sự tồn tại của một mở rộng của $J$ thành một phản tự đẳng cấu đối hợp của $B$ (đặt $\rho^J = \alpha + \beta \rho$, với $\alpha, \beta$ trong $A$, bây giờ chứng minh rằng tất yếu $\alpha = 0$, bằng cách viết điều kiện $(\rho \xi)^J = \xi^J \rho^J$ với mọi $\xi \in A$).

c) Giả sử các điều kiện (1) được thỏa mãn và phản tự đẳng cấu đối hợp J được mở rộng lên B bởi (2). Cho F là một B-môđun unita, E là A-môđun unita suy ra từ F bằng cách hạn chế vành vô hướng xuống A; khi đó ánh xạ $j : x \to \rho x$ là một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh của E lên chính nó, đối với tự đẳng cấu $\sigma$ của A và sao cho $j^2(x) = \gamma x$. Cho $\Phi$ là một dạng Hermit trên F (đối với J); với $x \in E$, $y \in E$, đặt $\Phi(x, y) = \Phi_1(x, y) + \Phi_2(x, y)\rho$, trong đó $\Phi_1(x, y) \in A$, $\Phi_2(x, y) \in A$. Bây giờ chứng minh rằng $\Phi_1$ là một dạng Hermit trên E (đối với J), sao cho

ta có $\Phi_2(x, y) = \Phi_1(x, j(y))\delta^{-1}$, $\Phi_2$ là một dạng nửa song tuyến tính trên E đối với phản tự đẳng cấu (nói chung không đối hợp) $\xi \to (\xi^J)^{\sigma}$, sao cho và

Ngược lại. Để $\Phi$ không suy biến, điều kiện cần và đủ là $\Phi_1$ hoặc $\Phi_2$ không suy biến. Trường hợp riêng trong đó B là một đại số quaternion trên một vành giao hoán K, tương ứng với một cặp $(\alpha, \beta)$ các phần tử của K, $\beta$ khả nghịch, A là đại số con $K + Ku$ của B, và J và $\sigma$ là ánh xạ $\xi \to \bar{\xi}$ (chương II, § 7, số 8).

d) Cho $u$ là một tự đẳng cấu của A-môđun E. Để $u$ là một tự đẳng cấu của B-môđun F, bảo toàn dạng $\Phi$, điều kiện cần và đủ là $u$ thỏa mãn hai bất kỳ trong ba điều kiện sau: 1° $u$ bảo toàn $\Phi_1$; 2° $u$ bảo toàn $\Phi_2$; 3° $u$ giao hoán với $j$.

5) Cho $A$ là một vành giao hoán, $E$ là một $A$-môđun, $(x_i)_{i \in I}$ là một hệ sinh của $E$; gọi $R$ là môđun con của môđun $A^{(1)}$ gồm các phần tử $(y_i)_{i \in I}$ sao cho $\sum_i y_i x_i = 0$, và gọi $(a_{\lambda})_{\lambda \in L}$ là một hệ sinh của $R$ (với $a_{\lambda} = (a_{\lambda i})_{i \in I}$). Gọi $(b_{ij})$ là một họ các phần tử của $A$ $(i \in I, j \in I)$. Để tồn tại một dạng toàn phương $Q$ sao cho $Q(x_i) = b_{ii}$ và $\Phi(x_i, x_j) = b_{ij}$ với $i \neq j$ ($\Phi$ kí hiệu dạng song tuyến tính liên kết với $Q$), điều kiện cần và đủ là $b_{ij} = b_{ji}$ với mọi $i, j$ trong $I$, và rằng, với mọi $\lambda \in L$ và $i \in I$, ta có

khi đó cũng có $Q(\sum a_i x_i) = \sum_{\{i, j\}} b_{ij} a_i a_j$. Suy ra một chứng minh mới của Mệnh đề 3 của No. 4. (Chú ý rằng các $x'_i = 1 \otimes x_i$ tạo thành một hệ sinh của $A' \otimes_A E$, và $A'$-môđun $A' \otimes_A E$ đẳng cấu với ${A'}^{(1)}/R'$, trong đó ${A'}^{(1)}$ được đồng nhất với $A' \otimes_A A^{(1)}$ và $R'$ được sinh bởi ảnh của R dưới ánh xạ chính tắc từ $A^{(1)}$ vào ${A'}^{(1)}$.

6) Cho $A$ là một vành giao hoán có đặc số 2, $E$ là một A-môđun tự do, $\mathscr{A}$ (tương ứng, $\mathscr{S}$, $\mathscr{Q}$) là A-môđun các dạng song tuyến tính phản xứng (tương ứng, các dạng song tuyến tính đối xứng, các dạng toàn phương) trên $E$. Ta có $\mathscr{A} \subset \mathscr{S}$; hơn nữa định nghĩa một ánh xạ tuyến tính $\omega$ từ $\mathscr{S}$ vào $\mathscr{Q}$, và một ánh xạ tuyến tính $\theta$ từ $\mathscr{Q}$ vào $\mathscr{A}$ như sau: với mọi dạng song tuyến tính $\Phi \in \mathscr{S}$, $\omega(\Phi)$ là dạng toàn phương $x \to \Phi(x, x)$, và với mọi dạng toàn phương $Q \in \mathscr{Q}$, $\theta(Q)$ là dạng song tuyến tính liên kết với $Q$, và dạng này là phản xứng. Chứng minh rằng $\omega(0) = \mathscr{A}$, $\theta(\mathscr{Q}) = \mathscr{A}$ và $\theta(0) = \omega(\mathscr{S})$.

¶ 7) Cho $A$ là một vành giao hoán, $E, F$ là hai A-môđun. Một ánh xạ $Q$ từ $E$ vào $F$ được gọi là toàn phương nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: $1^\circ$ $Q(\alpha x) = \alpha^2 Q(x)$ với $\alpha \in A, x \in E$; $2^\circ$ ánh xạ $(x, y) \to Q(x + y) - Q(x) - Q(y)$ từ $E \times E$ vào $F$ là song tuyến tính. Nếu $f$ là một ánh xạ tuyến tính của một A-môđun $E_1$ vào $E$, thì $Q \circ f$ là một ánh xạ toàn phương từ $E_1$ vào $F$.

a) Cho $E$ là một $A$-môđun, $A^{(E)}$ là môđun các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của $E$ với hệ số trong $A$ (chương II, § 1, số 8), và với mọi $x \in E$, gọi $\varepsilon_x$ là phần tử tương ứng của cơ sở chính tắc của $A^{(E)}$. Gọi $\Gamma^2(E)$ là thương của $A^{(E)} \times (E \otimes_A E)$ bởi môđun con $R$ sinh bởi các phần tử $(\varepsilon_{x+y} - \varepsilon_x - \varepsilon_y, -x \otimes y)$ và $(\varepsilon_{\lambda x} - \lambda^2 \varepsilon_x, 0)$, với $x \in E, y \in E, \lambda \in A$. Với mọi $x \in E$, đặt $\gamma(x) = \varphi(\varepsilon_x, 0)$, trong đó $\varphi$ ký hiệu ánh xạ chính tắc từ $A^{(E)} \times (E \otimes E)$ lên $\Gamma^2(E)$; $\gamma$ được gọi là ánh xạ chính tắc của $E$ vào $\Gamma^2(E)$. Chứng minh rằng $\gamma$ là một ánh xạ bậc hai của $E$ vào $\Gamma^2(E)$ và rằng, với mọi ánh xạ bậc hai $Q$ của $E$ vào một $A$-môđun $F$, tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính $q$ từ $\Gamma^2(E)$ vào $F$ sao cho $Q = q \circ \gamma$ (nói cách khác, $(\Gamma^2(E), \gamma)$ là một nghiệm của một bài toán ánh xạ phổ quát; xem Ens., chương IV, § 3).

Với mọi cặp $A$-môđun $E, E'$ và mọi ánh xạ tuyến tính $f$ từ $E$ vào $E'$, bây giờ chứng minh rằng, nếu $\gamma'$ ký hiệu ánh xạ chính tắc của $E'$ vào $\Gamma^2(E')$, thì tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính $\bar{f}$ từ $\Gamma^2(E)$ vào $\Gamma^2(E')$ sao cho $\gamma' \circ f = \bar{f} \circ \gamma$.

b) Giả sử rằng $E$ là tổng trực tiếp của hai môđun con $M, N$. Hãy định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ $\Gamma^2(E)$ lên tổng trực tiếp của các môđun $\Gamma^2(M), \Gamma^2(N)$ và $M \otimes N$ (hãy chứng minh rằng tổng trực tiếp này là nghiệm của cùng bài toán ánh xạ phổ quát như $\Gamma^2(E)$).

c) Cho $F$ là một môđun con của $E$, $j$ là đơn ánh chính tắc của $F$ vào $E$. Hãy định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ $\Gamma^2(E/F)$ lên

trong đó $\psi(x, y) = \varphi(0, x \otimes j(y))$ với $x \in E, y \in F$. (Cùng phương pháp).

d) Cho $A'$ là một vành giao hoán, $h$ là một đồng cấu của $A$ vào $A'$. Định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ $\Gamma^2(A' \otimes_A E)$ lên $A' \otimes_A \Gamma^2(E)$ (cùng phương pháp).

e) Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính $s$ từ $\Gamma^2(E)$ vào $E \otimes E$ sao cho $s(\gamma(x)) = x \otimes x$ với mọi $x \in E$; hãy chứng minh rằng nếu $E$ là một môđun tự do thì s là một đẳng cấu lên môđun con các tensor đối xứng bậc 2 trên E.

f) Giả sử rằng $A = \mathbf{Z}$ và E là một nhóm cyclic hữu hạn cấp n. Hãy chứng minh rằng $\Gamma^2(E)$ là một nhóm cyclic cấp n nếu n lẻ, cấp $2n$ nếu n chẵn. (Trước hết nhận thấy rằng nếu a là một phần tử sinh của E thì $\gamma(a)$ là một phần tử sinh của $\Gamma^2(E)$, và rằng $\gamma(-ha) = \gamma(ha)$ với mọi số nguyên h; suy ra từ đó rằng nếu n lẻ thì $n\gamma(a) = 0$ bằng cách lấy $h = (n-1)/2$; hãy chứng minh tương tự rằng $2n\gamma(a) = 0$ nếu n chẵn. Cuối cùng chứng minh rằng nếu n lẻ (tương ứng chẵn), tồn tại một ánh xạ bậc hai Q từ E vào một nhóm cyclic cấp n (tương ứng $2n$) biến a thành một phần tử sinh của nhóm này).

8) Cho A là một trường giao hoán, E, F là hai không gian vectơ trên A. Cho g là một ánh xạ từ E vào F, sao cho tồn tại ba ánh xạ $a, b, c$ từ $E \times E$ vào F, thỏa mãn đẳng thức

với mọi $x, y$ trong E, $\lambda, \mu$ trong A.

a) Chứng minh rằng ta có $a(x, y) = g(x), c(x, y) = g(y), b(y, x) = b(x, y)$ và $b(\lambda x, y) = \lambda b(x, y)$; hơn nữa, nếu đặt

hãy chứng minh rằng ta có $d(x, y, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y)$ và kết luận rằng $d(\lambda x, \mu y, v z) = \lambda \mu v d(x, y, z)$.

b) Suy ra từ a) rằng nếu $A \neq \mathbf{F}_2$, tất yếu ta có $d(x, y, z) = 0$ và do đó g là một ánh xạ bậc hai (Bài tập 7). Ngược lại, nếu $A = \mathbf{F}_2$ và nếu dim E $\geqslant 3$, hãy chứng minh rằng tồn tại các ánh xạ g từ E vào A, thỏa mãn (4) và đối với chúng $d(x, y, z)$ không đồng nhất bằng không.

9) Cho A là một vành giao hoán, E là một A-môđun có một cơ sở gồm n phần tử, $\Phi$ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Cho e là một phần tử của $\bigwedge^n E$ tạo thành một cơ sở của môđun này, $\Delta$ là biệt thức của $\Phi$ đối với e, $\varphi_p$ là đẳng cấu chính tắc từ $\bigwedge^p E$ lên $\bigwedge^{n-p} E^*$ tương đối với e (Chương III, § 8, No. 5). Với $x \in \bigwedge^p E$, đặt $d_{(p)}(x) = \varphi_{n-p}^{-1}(d_{\Phi_{(p)}}(x))$; hãy chứng minh rằng ánh xạ $d_{(p)}$ từ $\bigwedge^p E$ vào $\bigwedge^{n-p} E$ có các tính chất sau:

a) Với mọi $x \in \bigwedge^p E$, $d_{(n-p)}(d_{(p)}(x)) = (-1)^{p(n-p)} \Delta x$.

b) Với mọi cặp phần tử $x, y$ của $\bigwedge^p E$, ta có

c) Giả sử thêm rằng A là một trường và $\Phi$ là không suy biến. Khi đó, nếu x là một p-vectơ phân tích được $\neq 0$ tương ứng với một không gian con F của E (Chương III, § 7, No. 3), thì $d_{(p)}(x)$ là một $(n-p)$-vectơ phân tích được $\neq 0$ tương ứng với không gian con $F^0$ trực giao với F.

d) Mở rộng các kết quả trước cho trường hợp mà (A là một vành giao hoán), Φ là một dạng nửa song tuyến tính ε-Hermit đối với một tự đẳng cấu đối hợp J ≠ 1 của A.

10) a) Cho A là một vành giao hoán, E là một A-môđun có một cơ sở gồm 3 phần tử, Φ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với ký hiệu của Bài tập 9, với hai phần tử tùy ý x, y của E, đặt $x \overline{\wedge} y = d_{(2)}(x \wedge y)$, và gọi phần tử này là tích vectơ của x và y (đối với $\Phi$ và đối với cơ sở e của $\bigwedge^3 E$). Chứng minh rằng $(x, y) \to x \overline{\wedge} y$ là một ánh xạ song tuyến tính phản xứng từ $E \times E$ vào E, và rằng $x \overline{\wedge} y$ trực giao với x và với y.

b) Cho α, β là hai phần tử khả nghịch của A, B là đại số quaternion trên A tương ứng với cặp ($\alpha, \beta$) (Chương II, § 7, No. 8), 1, u, v, ω là cơ sở chính tắc của B trên A; gọi E là môđun con của B có u, v, ω làm cơ sở. Chứng minh rằng nếu x, y là hai quaternion thuộc E thì có

trong đó Φ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E sao cho các ánh xạ tuyến tính liên kết với Φ là song ánh, và $x \overline{\wedge} y$ là tích vectơ của x và y đối với dạng Φ và đối với cơ sở $\alpha^{-1}\beta^{-1}u \wedge v \wedge \omega$ của $\bigwedge^3 E$.

11) Cho Φ là một dạng nửa song tuyến tính ε-Hermit không suy biến trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E. Một không gian con vectơ M của E được gọi là trực giao yếu với một không gian con vectơ N (đối với Φ) nếu một trong hai không gian con M, N° chứa không gian kia.

a) Chứng minh rằng quan hệ "M trực giao yếu với N" là đối xứng.

b) Nếu M và N trực giao yếu thì M° và N° trực giao yếu.

c) Nếu M và N trực giao yếu và nếu $M \cap N = \{0\}$, thì M và N trực giao.