Remark 9

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est le corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E. Montrer que E est somme directe de sous-espaces F_k (1 \leq k \leq r), deux à deux orthogonaux, tels que dans chacun des F_k il existe une base orthonormale (e_{ik}) (1 \leq i \leq n_k) et que l’on ait u(e_{ik}) = \lambda_k e_{ik} pour 1 \leq i \leq n_k, deux \lambda_k d’indices distincts n’étant pas transformés l’un de l’autre par un automorphisme intérieur de A. En outre, si (F'_k) est une seconde décomposition de E ayant les mêmes propriétés, avec un système (\lambda'_k) de valeurs propres, on a F'_k = F_k (à une permutation près des indices) et \lambda'_k = \alpha_k \lambda_k \alpha_k^{-1}; l’ensemble des vecteurs propres de u pour la valeur propre \lambda_k est le sous-espace sur le commutant A_k de \lambda_k dans A, engendré par les e_{ik} (1 \leq i \leq n_k).