Remarque

Il résulte de l’existence de bases orthonormales que deux formes hermitiennes positives non dégénérées sur deux espaces vectoriels de même dimension finie sont équivalentes (§ 1, no 6). Soient alors L un espace hermitien de dimension finie sur A, dont la forme métrique est positive non dégénérée, et $V_1$ et $V_2$ deux variétés linéaires de même dimension dans L (§ 6, no 6) ; comme les restrictions de la forme métrique aux directions $T_1$ et $T_2$ de $V_1$ et $V_2$ d’une part, aux sous-espaces orthogonaux $T_1^0$ et $T_2^0$ d’autre part, sont équivalentes, il existe un automorphisme unitaire $u$ de l’espace $T$ des translations de $L$ tel que $u(T_1) = T_2$ et $u(T_1^0) = T_2^0$; il existe donc un déplacement $v$ de $L$ tel que $v(V_1) = V_2$. Soient $(a, b), (a', b')$ deux couples de points de $L$; pour qu’il existe un déplacement $v$ de $L$ tel que $v(a) = a'$ et $v(b) = b'$, il faut et il suffit donc (avec la notation du § 6, no 6) que l’on ait $e(a, b) = e(a', b')$; l’élément $\sqrt{e(a, b)}$ de $A$ (chap. VI, § 2, no 4) est appelé la distance de $a$ et $b$ dans l’espace hermitien $L$.

Remarque 1

Lorsque J est l’identité, on retrouve la notion d’adjoint d’un homomorphisme définie au § 1, no 8.

Remarque 2

Supposons toujours $A = K$ ou $A = K(i)$. Soit $E^J$ le A-module à droite défini au § 1, no 2, déf. 5. La forme $\Phi$ est une forme bilinéaire sur $E \times E^J$, $\Phi^J$ est une forme bilinéaire sur $E^J \times E$, et $u$ est une application A-linéaire de E dans $E^J$. L’adjoint de cet homomorphisme, au sens du § 1, no 8, est une application A-linéaire de E dans $E^J$; on voit aussitôt que celle-ci coïncide avec l’application $u^*$ ci-dessus définie.

On dit qu’un endomorphisme $u$ de E est normal (pour $\Phi$) si l’on a $uu^* = u^*u$.

Exemples d’endomorphismes normaux : 1) les automorphismes unitaires pour $\Phi$ ($\S$ 6, no 2), qui sont caractérisés par la relation $u^{-1} = u^*$ ($\S$ 1, no 8, cor. de la prop. 8); 2) les endomorphismes $u$ tels que $u^* = u$; ceux-ci sont appelés endomorphismes hermitiens.

Pour tout endomorphisme hermitien $u$ de E, posons $\Phi_u(x, y) = \Phi(u(x), y)$; on a

ce qui montre que $\Phi_u$ est une forme hermitienne sur E. Réciproquement soit $\Psi$ une forme hermitienne sur E ; comme l’application $s_\Phi$ de E dans $E^*$ associée à $\Phi$ est bijective, il existe, pour tout $x \in E$, un élément $u(x)$ de E et un seul tel que $\Psi(x, y) = \Phi(u(x), y)$; on vérifie aisément que $u$ est un endomorphisme hermitien de E. Ainsi $u \to \Phi_u$ est une bijection, dite canonique, de l’ensemble des endomorphismes hermitiens de E sur l’ensemble des formes hermitiennes sur E.

Supposons que $A = K$ ou $A = K(i)$; étant donnée une forme bilinéaire $\Psi$ sur E, il existe, pour tout $x \in E$, un élément $u(x)$ de E et un seul tel que $\Psi(x, y) = \overline{\Phi(u(x), y)}$; on voit aussitôt que $u$ est une application semi-linéaire (pour J) de E dans lui-même. Comme $\Phi(u(x), y) = \Phi(y, u(x)) = \overline{\Phi(u^*(y), x)}$, on voit que, pour que $\Psi$ soit symétrique (resp. alternée), il faut et il suffit que l’on ait $u^* = u$ (resp. $u^* = -u$).

Remarque

Il résulte du th. 2 que les sous-espaces propres relatifs à deux valeurs propres distinctes de u sont orthogonaux.

Remarque 3

On suppose que $A = K$ ou $A = K(i)$ et que $E$ est de dimension finie. Soient $\Phi_1, \Phi_2$ deux formes hermitiennes positives sur $E$, et soient $V = (\alpha_{ij}), W = (\beta_{ij})$ les matrices de ces formes par rapport à une même base $(e_i)$ de $E$. Montrer que la forme hermitienne $\Phi$ dont la matrice $(\gamma_{ij})$ par rapport à $(e_i)$ est telle que $\gamma_{ij} = \alpha_{ij}\beta_{ij}$ pour tout couple d’indices, est positive ; en outre, si $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont non dégénérées, il en est de même de $\Phi$. (Dans le calcul de $\Phi(x, x)$, exprimer les $\alpha_{ij}$ à l’aide des valeurs $\Phi_1(c_i, c_i)$ pour une base orthogonale $(c_i)$ de $E$ relative à $\Phi_1$.)

Remarque 4

On suppose que $A = K$ ou $A = K(i)$. Soit $R$ une matrice hermitienne d’ordre $n$ sur $A$; on dit que $R$ a pour signature $(s, t)$ si la forme hermitienne sur $A^n$ ayant $R$ pour matrice par rapport à la base canonique, a pour signature $(s, t)$. On désigne par $\Delta_k$ le mineur principal de $R$ obtenu en supprimant dans $R$ les lignes et les colonnes d’indice $> k$; on suppose que $\Delta_{s+t} \neq 0$ et que, pour aucun indice $k < s + t$, $\Delta_k$ et $\Delta_{k+1}$ ne soient simultanément nuls (cf. § 6, exerc. 1 b)). Montrer que si $\Delta_k = 0$ pour un $k < s + t$, $\Delta_{k-1}$ et $\Delta_{k+1}$ ont des signes opposés (méthode de l’exerc. 1 a) du § 6) et que le nombre $s - t$ est égal à

(utiliser l’exerc. 2 du § 6).

Remarque 5

On suppose que $A = K$ ou $A = K(i)$; soient $R, S$ deux matrices hermitiennes sur $A$, de signatures $(s, t)$ et $(s', t')$ respectivement (exerc. 4); montrer que la matrice $R \otimes S$ est une matrice hermitienne de signature $(ss' + tt', st' + s't)$.

Remarque 6

Soient $K$ un corps ordonné maximal, $L$ une algèbre simple de rang fini sur $K$. Si $(s, t)$ est la signature de la forme bilinéaire symétrique $(x, y) \to \operatorname{Tr}_{L/K}(xy)$ sur $L$, montrer que l’on a : $s - t = m$ si $L$ est isomorphe à une algèbre de matrices d’ordre $m$ sur $K$; $s - t = 0$ si $L$ est isomorphe à une algèbre de matrices sur le corps $K(i)$; $s - t = -2m$ si $L$ est isomorphe à une algèbre de matrices d’ordre $m$ sur le corps des quaternions sur $K$.

Remarque 7

On suppose que $A$ satisfait aux conditions du début du § 7 et que $E$ est de dimension finie $n$. Soit $\Phi$ une forme hermitienne positive non dégénérée sur $E$. a) Montrer que toute similitude pour $\Phi$ s’écrit d’une seule manière comme produit d’une homothétie de rapport $\geqslant 0$ dans $K$, et d’une transformation unitaire. b) Pour toute base $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $E$, montrer qu’il existe une base orthonormale et une seule $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $E$ satisfaisant aux conditions suivantes : 1° pour tout $m$ tel que $1 \leq m \leq n$, le sous-espace engendré par $a_1, \ldots, a_m$ est identique au sous-espace engendré par $e_1, \ldots, e_m$; 2° on a $\Phi(a_i, e_i) \geq 0$ dans $K$, pour tout indice $i$ (cf. § 6, no 1, prop. 1). c) Déduire de b) que pour toute matrice carrée inversible $M$ d’ordre $n$ sur $A$, il existe un couple de matrices $(L, U)$ d’ordre $n$ et un seul, tel que $U$ soit une matrice unitaire, que $L = (\lambda_{ij})$ n’ait que des zéros au-dessous de sa diagonale et des termes diagonaux $\lambda_{ii}$ appartenant à $K$ et $> 0$, et enfin que $M = LU$.

Remarque 8

On suppose $A = K$; soit $L$ un espace hermitien de dimension finie sur $A$, dont la forme métrique est positive non dégénérée. Soient $M, N$ deux parties de $L$, $u$ une bijection de $M$ sur $N$ telle que l’on ait $e(u(a), u(b)) = e(a, b)$ quels que soient les points $a, b$ de $M$. Montrer qu’il existe un déplacement dont la restriction à $M$ soit égale à $u$ (raisonner par récurrence sur la dimension de la variété linéaire affine engendrée par $M$, comme dans le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt). La proposition s’étend-elle au cas où A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K ?

Remarque 9

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est le corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E. Montrer que E est somme directe de sous-espaces F_k (1 \leq k \leq r), deux à deux orthogonaux, tels que dans chacun des F_k il existe une base orthonormale (e_{ik}) (1 \leq i \leq n_k) et que l’on ait u(e_{ik}) = \lambda_k e_{ik} pour 1 \leq i \leq n_k, deux \lambda_k d’indices distincts n’étant pas transformés l’un de l’autre par un automorphisme intérieur de A. En outre, si (F'_k) est une seconde décomposition de E ayant les mêmes propriétés, avec un système (\lambda'_k) de valeurs propres, on a F'_k = F_k (à une permutation près des indices) et \lambda'_k = \alpha_k \lambda_k \alpha_k^{-1}; l’ensemble des vecteurs propres de u pour la valeur propre \lambda_k est le sous-espace sur le commutant A_k de \lambda_k dans A, engendré par les e_{ik} (1 \leq i \leq n_k).

Remarque 10

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E.

a) Montrer que pour qu’un sous-espace vectoriel F de E soit tel que u(F) \subset F, il faut et il suffit que F soit engendré par des vecteurs propres de u ; on a alors u(F^0) \subset F^0 et u^*(F) \subset F.

b) Pour que u soit unitaire (resp. pour que u^* = u, u^* = -u), il faut et il suffit que pour toute valeur propre \lambda de u, on ait \lambda \overline{\lambda} = 1 (resp. \overline{\lambda} = \lambda, \overline{\lambda} = -\lambda).

c) On dit qu’un endomorphisme hermitien u de E est positif (resp. positif et non dégénéré) si la forme hermitienne (x, y) \to \Phi(u(x), y) qui lui correspond canoniquement est positive (resp. positive et non dégénérée) ; il faut et il suffit pour cela que toutes les valeurs propres de u soient \geq 0 (resp. > 0).

d) Montrer que pour tout entier m > 0, il existe un endomorphisme normal v de E tel que v^m = u. Si u est hermitien positif, il existe un seul endomorphisme hermitien positif v tel que v^m = u, et il existe un polynôme f \in K[X] tel que v = f(u) ; ce dernier résultat est aussi valable lorsque A = K.

Remarque 11

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A = K. Soit u un endomorphisme normal de E.

a) Soit V un élément minimal de l’ensemble des sous-espaces de E non réduits à 0, stables pour u et u* ; montrer que si V est de dimension 2, la restriction de u à V est une similitude directe de multiplicateur > 0.

b) Montrer que tout sous-espace de E stable pour u est aussi stable pour u*. (Soit E_0 l’espace vectoriel obtenu à partir de E par extension à K(i) du corps des scalaires ; \Phi est la restriction à E d’une forme hermitienne positive non dégénérée sur E_0 et u la restriction à E d’un endomorphisme normal u_0 de E_0 (pour cette forme) ; en outre E est l’ensemble des x \in E_0 invariants par une bijection semi-linéaire involutive j de E_0, et on a u_0j = ju_0. Appliquer alors l’exerc. 10 a.).

Remarque 12

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Montrer que pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe une base orthonormale de $E$ par rapport à laquelle la matrice de $u$ n’ait que des zéros au-dessous de la diagonale. (Procéder par récurrence sur la dimension de $E$, en considérant un vecteur propre de $u$.)

Remarque 13

Soient $A$ un corps vérifiant les conditions du début du § 7, $E, F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $A$, $\Phi$ (resp. $\Psi$) une forme hermitienne positive non dégénérée sur $E$ (resp. $F$). Montrer que, pour toute application linéaire $u$ de $E$ dans $F$, l’adjoint $u^*$ de $u$ (pour $\Phi$ et $\Psi$; cf. § 1, no 8) est tel que $u^*u$ et $uu^*$ soient des endomorphismes hermitiens positifs (exerc. 10 c)) de $E$ et $F$ respectivement.

Remarque 14

On suppose remplies les conditions du no 3. Soient $u$ un endomorphisme de $E$, $h_1, h_2$ les deux endomorphismes hermitiens positifs de $E$, tels que l’on ait $h_1^2 = u^*u, h_2^2 = uu^*$ (exerc. 13 et 10 d)).

a) Montrer qu’il existe un endomorphisme unitaire $\nu$ tel que $u = \nu h_1 = h_2 \nu$ et en particulier que $h_1$ et $h_2$ sont semblables (remarquer que $u(0) = \overline{h_1}(0)$ et que si $V$ est le sous-espace orthogonal à $\overline{u}(0)$, on a $\Phi(u(x), u(x)) = \Phi(h_1(x), h_1(x))$ pour tout $x \in V$. Pour que $\nu$ soit déterminé de façon unique, il faut et il suffit que $u$ soit bijective. Pour qu’on puisse prendre $\nu$ permutable avec $h_1$, il faut et il suffit que $u$ soit normal.

b) Déduire de a) que toute matrice carrée $M$ d’ordre $n$ sur $A$ peut s’écrire $UDV$, où $U$ et $V$ sont des matrices unitaires et $D$ une matrice diagonale dont les éléments sont $\geqslant 0$, et ont pour carrés les valeurs propres de $MM^*$.

Remarque 15

On suppose remplies les conditions du no 3. Montrer que toute matrice hermitienne positive $H$ sur $A$ peut s’écrire sous la forme $LL^*$, où $L = (\lambda_{ij})$ n’a que des zéros au-dessous de sa diagonale et des termes diagonaux appartenant à $K$ et $\geqslant 0$; en outre $L$ est déterminée de manière unique par ces conditions lorsque $H$ est inversible (cf. exerc. 10 d) et 7 c)).

Remarque 16

On suppose remplies les conditions du no 3 et en outre que $A = K(i)$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$.

a) L’ensemble des valeurs propres de $u$ est contenu dans l’ensemble $U$ des valeurs de $\Phi(x, u(x))$ lorsque $x$ parcourt l’ensemble des éléments de $E$ tels que $\Phi(x, x) = 1$.

b) On dit qu’une partie $C$ de $A = K(i)$ est convexe si, pour tout couple d’éléments $(\xi, \eta) \in C^2$ et tout $\tau \in K$ tel que $0 \leqslant \tau \leqslant 1$ on a $\tau \xi + (1-\tau)\eta \in C$. Montrer que l’ensemble $U$ est convexe. (Se ramener au cas où $n = 2$; en écrivant $u$ sous la forme $\nu + i\omega$, où $\nu$ et $\omega$ sont hermitiens, et en remplaçant au besoin $u$ par $\lambda u$, où $\lambda \in A$ et $\lambda \overline{\lambda} = 1$, montrer que tout revient à prouver la propriété suivante. Soient $f(\xi_1, \xi_2) = \xi_1 \overline{\xi}_1 + \xi_2 \overline{\xi}_2$, $g(\xi_1, \xi_2) = a \xi_1 \overline{\xi}_1 + b \xi_2 \overline{\xi}_2$ ($a \in K, b \in K$), $h(\xi_1, \xi_2) = \alpha \xi_1 \overline{\xi}_1 + \beta \xi_1 \overline{\xi}_2 + \beta \xi_2 \overline{\xi}_1 + \gamma \xi_2 \overline{\xi}_2$ ($\alpha \in K, \gamma \in K, \beta \in A$); soient $(\eta_1, \eta_2) \in A^2, (\zeta_1, \zeta_2) \in A^2$ tels que $f(\eta_1, \eta_2) = f(\zeta_1, \zeta_2) = 1$, $g(\eta_1, \eta_2) = g(\zeta_1, \zeta_2) = 1$, $h(\eta_1, \eta_2) > 0$, $h(\zeta_1, \zeta_2) < 0$; il existe alors $(\theta_1, \theta_2) \in A^2$ tel que $f(\theta_1, \theta_2) = 1$, $g(\theta_1, \theta_2) = 1$ et $h(\theta_1, \theta_2) = 0$. On commencera par remarquer que pour tout couple $(\xi_1, \xi_2)$, il existe $\mu \in A$ tel que $\mu \overline{\mu} = 1$ et $\beta \mu \xi_1 \overline{\xi}_2 + \beta \mu \xi_2 \overline{\xi}_1 = 0$, ce qui permettra de se ramener au cas où $\beta = 0$; utiliser la prop. 5 du chap. VI, § 2, no 5.)

c) Montrer que si $u$ est normal, U est le plus petit ensemble convexe contenant toutes les valeurs propres de $u$. Donner un exemple où $u$ n’est pas normal mais où U possède encore la propriété précédente. (Prendre pour valeurs propres de $u$ les éléments $\pm 1 \pm i$ comme valeurs propres simples, et 0 comme valeur propre double.)