Remark 10

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E.

a) Montrer que pour qu’un sous-espace vectoriel F de E soit tel que u(F) \subset F, il faut et il suffit que F soit engendré par des vecteurs propres de u ; on a alors u(F^0) \subset F^0 et u^*(F) \subset F.

b) Pour que u soit unitaire (resp. pour que u^* = u, u^* = -u), il faut et il suffit que pour toute valeur propre \lambda de u, on ait \lambda \overline{\lambda} = 1 (resp. \overline{\lambda} = \lambda, \overline{\lambda} = -\lambda).

c) On dit qu’un endomorphisme hermitien u de E est positif (resp. positif et non dégénéré) si la forme hermitienne (x, y) \to \Phi(u(x), y) qui lui correspond canoniquement est positive (resp. positive et non dégénérée) ; il faut et il suffit pour cela que toutes les valeurs propres de u soient \geq 0 (resp. > 0).

d) Montrer que pour tout entier m > 0, il existe un endomorphisme normal v de E tel que v^m = u. Si u est hermitien positif, il existe un seul endomorphisme hermitien positif v tel que v^m = u, et il existe un polynôme f \in K[X] tel que v = f(u) ; ce dernier résultat est aussi valable lorsque A = K.