Remark 11

On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A = K. Soit u un endomorphisme normal de E.

a) Soit V un élément minimal de l’ensemble des sous-espaces de E non réduits à 0, stables pour u et u* ; montrer que si V est de dimension 2, la restriction de u à V est une similitude directe de multiplicateur > 0.

b) Montrer que tout sous-espace de E stable pour u est aussi stable pour u*. (Soit E_0 l’espace vectoriel obtenu à partir de E par extension à K(i) du corps des scalaires ; \Phi est la restriction à E d’une forme hermitienne positive non dégénérée sur E_0 et u la restriction à E d’un endomorphisme normal u_0 de E_0 (pour cette forme) ; en outre E est l’ensemble des x \in E_0 invariants par une bijection semi-linéaire involutive j de E_0, et on a u_0j = ju_0. Appliquer alors l’exerc. 10 a.).