Remark 13

Soient $A$ un corps vérifiant les conditions du début du § 7, $E, F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $A$, $\Phi$ (resp. $\Psi$) une forme hermitienne positive non dégénérée sur $E$ (resp. $F$). Montrer que, pour toute application linéaire $u$ de $E$ dans $F$, l’adjoint $u^*$ de $u$ (pour $\Phi$ et $\Psi$; cf. § 1, no 8) est tel que $u^*u$ et $uu^*$ soient des endomorphismes hermitiens positifs (exerc. 10 c)) de $E$ et $F$ respectivement.