Remark 14

On suppose remplies les conditions du no 3. Soient $u$ un endomorphisme de $E$, $h_1, h_2$ les deux endomorphismes hermitiens positifs de $E$, tels que l’on ait $h_1^2 = u^*u, h_2^2 = uu^*$ (exerc. 13 et 10 d)).

a) Montrer qu’il existe un endomorphisme unitaire $\nu$ tel que $u = \nu h_1 = h_2 \nu$ et en particulier que $h_1$ et $h_2$ sont semblables (remarquer que $u(0) = \overline{h_1}(0)$ et que si $V$ est le sous-espace orthogonal à $\overline{u}(0)$, on a $\Phi(u(x), u(x)) = \Phi(h_1(x), h_1(x))$ pour tout $x \in V$. Pour que $\nu$ soit déterminé de façon unique, il faut et il suffit que $u$ soit bijective. Pour qu’on puisse prendre $\nu$ permutable avec $h_1$, il faut et il suffit que $u$ soit normal.

b) Deduce from a) that every square matrix $M$ of order $n$ over $A$ can be written $UDV$, where $U$ and $V$ are unitary matrices and $D$ a diagonal matrix whose elements are $\geqslant 0$, and whose squares are the eigenvalues of $MM^*$.