Théorème 3

Étiquette 0DW3, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DW3].

Supposons les A-modules $B(C)$ et $Z(C)$ plats. Il existe un unique homomorphisme de $k$ -modules gradués, de degré $-1$ ,

\alpha:H(C\otimes_A C')\longrightarrow\operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))

rendant commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} H(C\otimes_A C') & \xrightarrow{\alpha} & \operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))(-1)\\ {\scriptstyle H(\delta\otimes1)}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\partial(\mathrm{II},H(C'))}\\ H(B(C)\otimes_A C')(-1) & \xleftarrow{\gamma(B(C),C')} & (B(C)\otimes_A H(C'))(-1). \end{array}

La suite de k-modules gradués

0 \longrightarrow \mathrm{H}(C) \otimes_A \mathrm{H}(C') \xrightarrow{\gamma(C,C')} \mathrm{H}(C \otimes_A C') \xrightarrow{\alpha} \mathrm{Tor}_1^A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C'))(-1) \longrightarrow 0

est exacte.

On a donc pour chaque $n$ une suite exacte

(11)

\begin{array}{cccccc} 0 & \longrightarrow & \bigoplus_{p+q=n} \mathrm{H}_p(C) \otimes_A \mathrm{H}_q(C') & \xrightarrow{\gamma_n(C,C')} & \mathrm{H}_n(C \otimes_A C') \\ & & & \xrightarrow{\alpha_n} & \bigoplus_{p+q=n-1} \mathrm{Tor}_1^A(\mathrm{H}_p(C), \mathrm{H}_q(C')) & \longrightarrow 0 . \end{array}

Posons pour simplifier $B = B(C)$ , $Z = Z(C)$ , $H = H(C)$ et $H' = H(C')$ :

Comme $B$ est plat, on déduit de (I) une suite exacte (X, p. 72, cor. 2)

(12)

0 \longrightarrow Z \otimes_A C' \xrightarrow{j \otimes 1} C \otimes_A C' \xrightarrow{\delta \otimes 1} (B \otimes_A C')(-1) \longrightarrow 0 .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

Cité par

Rien.

Rien.