Théorème 1 (théorème des accroissements finis)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques finies et continues dans un intervalle fermé borné $I = [a, b]$, et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complémentaire par rapport à $[a, b[$ d’une partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que $f'_d(x)$ et $g'_d(x)$ ne peuvent devenir infinis simultanément qu’aux points d’une partie dénombrable de $I$ et qu’il existe deux nombres finis $m, M$ tels que

sauf aux points d’une partie dénombrable de $I$ (en remplaçant $M \cdot g'_d(x)$ (resp. $m \cdot g'_d(x)$) par 0 si $M = 0$ (resp. $m = 0$) et $g'_d(x) = \pm \infty$. Dans ces conditions, on a

sauf lorsqu’on a $f(x) = M \cdot g(x) + k$, ou $f(x) = m \cdot g(x) + k$ ($k$ constante) pour tout $x \in I$.

Il suffit d’appliquer la prop. 2 aux fonctions $M \cdot g - f$ et $f - m \cdot g$, qui, en vertu des hypothèses faites, ont une dérivée à droite positive sauf aux points d’une partie dénombrable de $I$.