Exemple 8

On a $x^2 + xy + y^2 \asymp x^2 + y^2$ lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ dans $\mathbf{R}^2$, mais non $xy \asymp x^2 + y^2$.

Il résulte aussitôt de la prop. 3 de V, p. 3, que si $f_1, f_2, g_1, g_2$ sont des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ (K corps valué quelconque), les relations $f_1 \asymp g_1$ et $f_2 \asymp g_2$ entraînent $f_1 f_2 \asymp g_1 g_2$.

On notera par contre que les relations $f_1 \asymp g_1, f_2 \asymp g_2$ n’entraînent pas $f_1 + f_2 \asymp g_1 + g_2$, comme le montre l’exemple où $f_1(x) = g_1(x) = x^2, f_2(x) = -(x^2 + x), g_2(x) = -(x^2 - 1)$, $x$ réel tendant vers $+\infty$.

Les relations de comparaison $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$, $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g}$ sont dites relations faibles. On dit que deux fonctions $\mathbf{f}, \mathbf{g}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ sont faiblement comparables si elles vérifient l’une (au moins) des deux relations $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g} ; \mathbf{g} \preccurlyeq \mathbf{f}$.