Exemple 10

Soit $f(x, y)$ un polynôme à coefficients réels par rapport à deux variables réelles $x, y$, n’ayant pas de terme constant. Si, lorsque $x$ tend vers $0$ en restant $> 0$, il existe une fonction $\varphi(x)$ continue dans un intervalle $(0, a)$ et telle que $\varphi(0) = 0$ et $f(x, \varphi(x)) = 0$ pour $0 \leq x \leq a$, on peut montrer qu’il existe un nombre rationnel $r$ et un nombre réel $\lambda \neq 0$ tels que $\varphi(x) \sim \lambda x^r$ (V, p. 48, exerc. 3).