Exemple

Pour $x$ réel tendant vers $+\infty$, les fonctions périodiques et bornées dans $\mathbf{R}$, ayant une même période $\tau$, satisfont aux conditions (CO_I), (CO_{II}) et (CO_{III}): en effet si $\lim_{x \to +\infty} a(x)_- = 0$, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $x_0$ tel que $x \geq x_0$ entraîne $|a(x)| \leq \varepsilon$; on en déduit qu’on a aussi $|a(x)| \leq \varepsilon$ pour $0 \leq x \leq \tau$, puisqu’il existe un entier $n$ tel que $x + n \tau \geq x_0$, et que $a(x) = a(x + n \tau)$; comme $\varepsilon$ est arbitraire, on a $a(x) = 0$ dans $[0, \tau]$, donc partout.

Avec les notations de V, p. 12, on dira que $\sum_{\lambda < \alpha} a_\lambda g_\lambda$, où les $a_\lambda$ appartiennent à $\mathscr{C}$ et sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux, est un développement asymptotique de $f$ à coefficients dans $\mathscr{C}$, à la précision $g_\alpha$, si on a $f - \sum_{\lambda < \alpha} a_\lambda g_\lambda \ll g_\alpha$; pour tout indice $\mu$ tel que $a_\mu \neq 0$, $a_\mu g_\mu$ est alors la partie principale de $f - \sum_{\lambda < \mu} a_\lambda g_\lambda$, relative à $\mathscr{E}$ et à $\mathscr{C}$, ce qui prouve l’unicité de développement asymptotique de $f$ (à la précision $g_\alpha$) lorsqu’il existe.

Les méthodes données au no 3 (V, p. 14) pour former un développement asymptotique de $f_1 + f_2$ ou de $[f_1, f_2]$ à partir de développements asymptotiques donnés de $f_1$ et $f_2$ s’appliquent encore aux développements à coefficients variables, à condition que les $[a_\lambda, b_\mu]$ appartiennent au domaine de coefficients $\mathscr{C}$ correspondant à l’espace normé $V$ ou admettent un développement asymptotique à coefficients dans $\mathscr{C}$.