Lemme

Si deux séries entières $\sum_{n=0}^\infty c_n \lambda^n \sum_{n=0}^\infty d_n \lambda^n$ sont absolument convergentes pour tout $\lambda$ dans un voisinage de 0, et si on a $\sum_{n=0}^\infty c_n \lambda^n = \sum_{n=0}^\infty d_n \lambda^n$ pour ces valeurs de $\lambda$, alors $c_n = d_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$.

Si, par un procédé quelconque, on peut obtenir une série entière convergente égale à $\lambda^n / u(\lambda)$ dans un voisinage de 0, les coefficients de cette série sont nécessairement égaux aux $\beta_n$. C’est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui suivent.