§ 1. Développements tayloriens généralisés

1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes

Soient K un corps commutatif de caractéristique 0, K[X] l’algèbre des polynômes à une indéterminée sur K (A, IV, § 1, n° 1); dans tout ce paragraphe, nous désignerons sous le nom d’opérateur dans K[X] toute application linéaire U de l’espace vectoriel K[X] (par rapport à K) dans lui-même; comme les monômes X^n (n ≥ 0) forment une base de cet espace, U est déterminé par la donnée des polynômes U(X^n); de façon précise, si f(X) = $\sum_{k=0}^{\infty} \lambda_k X^k$ avec $\lambda_k \in K$ , on a

U(f) = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda_k U(X^k).

Si G est une algèbre commutative sur K, ayant un élément unité, le G-module G[X] s’obtient par extension à G du corps des scalaires K de l’espace vectoriel K[X]; tout opérateur U dans K[X] se prolonge donc d’une seule manière en une application linéaire du G-module G[X] dans lui-même, que nous noterons encore U (A, II, p. 82); pour tout élément g(X) = $\sum_{k=0}^{\infty} \gamma_k X^k$ , avec $\gamma_k \in G$ , on a $U(g) = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma_k U(X^k)$ .

Considérons en particulier le cas où G = K[Y]; G[X] est donc l’anneau K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur K; pour éviter toute confusion, on notera $U_X$ le prolongement de U à G[X]. Pour tout polynôme $g(X, Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma_k(Y) X^k$ , où $\gamma_k(Y) \in K[Y]$ on a donc $U_X(g) = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma_k(Y) U(X^k)$ . Comme $U_X$ est linéaire, on voit que si on écrit $g(X, Y) = \sum_{h=0}^{\infty} \beta_h(X) Y^h$ , on a aussi

U_X(g) = \sum_{h=0}^{\infty} U(\beta_h) Y^h.

Par l’isomorphisme canonique de K[X] sur K[Y] qui à X fait correspondre Y, l’opérateur U se transforme en un opérateur dans K[Y] que nous noterons $U_Y$ pour éviter toute confusion, $U_Y(f(Y))$ étant donc le polynôme obtenu en remplaçant X par Y dans le polynôme $U(f(X)) = U_X(f(X))$ . Cet opérateur $U_Y$ peut à son tour être prolongé en un opérateur (noté encore $U_Y$ ) dans K[X, Y]:

si $g(X, Y) = \sum_{h=0}^\infty \beta_h(X)Y^h$ , on a donc ici $U_Y(g(X, Y)) = \sum_{h=0}^\infty \beta_h(X)\ U_Y(Y^h)$ .

Comme exemple de ces prolongements, citons l’opérateur de dérivation D dans K[X] (A, IV, § 4), qui donne dans K[X, Y] les opérateurs de dérivation partielle $D_X$ et $D_Y$ .

Pour tout polynôme $f \in K[X]$ , nous désignerons par $T_Y(f)$ le polynôme $f(X + Y)$ de K[X, Y]; l’application $T_Y$ est une application K-linéaire de K[X] dans K[X, Y], dite opérateur de translation.

Définition 1

On dit qu’un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition s’il est permutable avec l’opérateur de translation, c’est-à-dire si $U_X T_Y = T_Y U$ .

En d’autres termes, si $f$ est un polynôme quelconque de K[X], et si $g = U(f)$ , on doit avoir $g(X + Y) = V_X(f(X + Y))$ .

Il résulte aussitôt de cette définition que, pour tout polynôme $f(X) \in K[X]$ , on a, avec les notations introduites ci-dessus,

U_X(f(X + Y)) = U_Y(f(X + Y)).

Exemple 1

Pour tout $\lambda \in K$ , l’opérateur qui, à tout polynôme $f(X)$ , fait correspondre le polynôme $f(X + \lambda)$ , est un opérateur de composition.

Exemple 2

La dérivation D dans K[X] est un opérateur de composition (cf. prop. 1).

Remarque

Comme K est un corps infini, pour que l’opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme $f \in K[X]$ et tout élément $\alpha \in K$ , on ait, en posant $g = U(f)$ , $g(X + \alpha) = U(f(X + \alpha))$ . (A, IV, § 2, n° 4).

Il est clair que toute combinaison linéaire d’opérateurs de composition, à coefficients dans K, est un opérateur de composition; il en est de même du composé de deux opérateurs de composition. En d’autres termes, les opérateurs de composition forment une sous-algèbre $\Gamma$ de l’algèbre des endomorphismes de l’espace vectoriel K[X].

Proposition 1

Pour qu’un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition il faut et il suffit qu’il soit permutable avec la dérivation D dans K[X].

En effet, la formule de Taylor montre que, pour tout polynôme $f \in K[X]$ , on a

U_X(f(X + Y)) = U_X \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\ Y^k D^k f(X) \right) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\ Y^k U(D^k f(X));

si on pose $g = U(f)$ , on a

g(X + Y) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\ Y^k D^k g(X) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\ Y^k D^k(U(f(X)));

pour que $U$ soit un opérateur de composition, on doit donc avoir $UD^k = D^kU$ pour tout entier $k \geqslant 1$ , et en particulier $UD = DU$ . Inversement, si cette relation est vérifiée, elle entraîne $UD^k = D^kU$ pour tout entier $k \geqslant 1$ , par récurrence sur $k$ ; la formule de Taylor montre alors que $g(X + Y) = U_x(f(X + Y))$ .

Pour tout polynôme $f \in K[X, Y]$ , nous désignerons par $U_0(f)$ le terme indépendant de $X$ dans le polynôme $U_X(f)$ ; en particulier, si $f \in K[X]$ , $U_0(f)$ est le terme constant de $U(f)$ , et $U_0$ est une forme linéaire sur $K[X]$ . Pour tout polynôme $f \in K[X]$ , soit $g = U(f)$ ; on a, en vertu de la déf. 1 de VI, p. 2,

g(X + Y) = V_X(f(X + Y)) = U_X \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^k D^k f(Y) \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} U(X^k) D^k f(Y)

et si, dans cette formule, on remplace $X$ par 0, on obtient

g(Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} U_0(X^k) D^k f(Y).

On voit donc qu’on a

U(f(X)) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \mu_k D^k f(X)

où $\mu_k$ est le terme constant du polynôme $U(X^k)$ .

Cette formule montre que la donnée des $\mu_k$ détermine complètement l’opérateur de composition $U$ ; inversement, si $(\mu_n)$ est une suite arbitraire d’éléments de $K$ , la formule (2) définit un opérateur $U$ qui est évidemment permutable avec $D$ , et par suite (VI, p. 2, prop. 1) un opérateur de composition. Nous écrirons désormais la formule (2) sous la forme

U = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \mu_k D^k.

Cette formule peut s’interpréter en langage topologique de la façon suivante: si on considère sur $K[X]$ la topologie discrète, et sur l’algèbre $\mathrm{End}(K[X])$ des endomorphismes de $K[X]$ , la topologie de la convergence simple dans $K[X]$ (TG, X, p. 4), la série de terme général $\frac{1}{k!} \mu_k D^k$ est commutativement convergente dans $\mathrm{End}(K[X])$ et a pour somme $U$ (TG, III, p. 44).

La formule (3) montre qu’à toute série formelle $u(S) = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k S^k$ à une indéterminée sur $K$ (A, IV, § 5), on peut faire correspondre l’opérateur de composition $U = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k$ , que nous noterons désormais $u(D)$ . Cette remarque peut être précisée de la façon suivante:

Théorème 1

L’application qui, à toute série formelle $u(S) = \sum_{k=0}^\infty \alpha_k S^k$ à une indéterminée sur $K$ , fait correspondre l’opérateur de composition $u(D) = \sum_{k=0}^\infty \alpha_k D^k$ dans $K[X]$ , est un isomorphisme de l’algèbre $K[[S]]$ des séries formelles sur l’algèbre $\Gamma$ des opérateurs de composition.

On vérifie aussitôt que cette application est un homomorphisme. Tout revient donc à voir qu’elle est injective, autrement dit, que la relation $\sum_{k=0}^\infty \alpha_k D^k = 0$ entraîne $\alpha_k = 0$ pour tout $k$ ; or, $h! \alpha_h$ est le terme constant du polynôme obtenu en appliquant $\sum_{k=0}^\infty \alpha_k D^k$ à $X^h$ , d’où le théorème.

Corollaire

L’algèbre $\Gamma$ des opérateurs de composition dans $K[X]$ est commutative.

Exemple

Si $U$ est l’opérateur qui, à tout polynôme $f(X)$ , fait correspondre $f(X + \lambda)$ (où $\lambda \in K$ ), on a $U_0(X^k) = \lambda^k$ , et par suite $U = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (\lambda D)^k$ . Par analogie avec le développement en série de $e^x$ (III, p. 15), nous désignerons par $e^S$ ou $\exp(S)$ le série formelle $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} S^n$ dans l’anneau $K[[S]]$ ; on peut donc écrire $U = e^{\lambda D}$ . En remplaçant dans ce raisonnement le corps $K$ par le corps de fractions rationnelles $K(Y)$ , on voit de même que l’opérateur de translation $T_Y$ peut s’écrire $e^{YD}$ .

On notera d’ailleurs que, dans l’anneau $K[[S, T]]$ des séries formelles sur $K$ à deux indéterminées, on a

(\exp S)(\exp T) = \sum_{p, q} \frac{S^p T^q}{p! q!}

= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( \binom{n}{0} S^n + \binom{n}{1} S^{n-1} T + \cdots + \binom{n}{n} T^n \right) = \exp (S + T)

et en particulier

(\exp S)(\exp (-S)) = 1

ce qui justifie la notation introduite.

Scholie

L’isomorphie de l’algèbre $K[[S]]$ des séries formelles et de l’algèbre $\Gamma$ des opérateurs de composition dans $K[X]$ , permet parfois de démontrer plus simplement des propositions relatives à des séries formelles, en les démontrant pour les opérateurs de composition qui leur correspondent (cf. VI, p. 6, prop. 6).

2. Polynômes d’Appell attachés à un opérateur de composition

Étant donné un opérateur de composition $U = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k D^k \neq 0$ , soit $p$ le plus petit des entiers $k$ tels que $\alpha_k \neq 0$ ; nous dirons que $p$ est l’ordre de l’opérateur $U$ .

Proposition 2

Tout opérateur de composition d’ordre 0 est inversible dans l’algèbre $\Gamma$ des opérateurs de composition dans $\mathbf{K}[X]$ .

En effet, une série formelle $\sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k S^k$ telle que $\alpha_0 \neq 0$ est inversible dans l’anneau $\mathbf{K}[[S]]$ (A, IV, § 5); la proposition résulte donc du th. 1 de VI, p. 4.

Proposition 3

Soit $U$ un opérateur de composition d’ordre $p$ ; pour tout polynôme $f$ de degré $< p$ , $U(f) = 0$ ; pour tout polynôme $f \neq 0$ de degré $n \geq p$ , $U(f)$ est un polynôme $\neq 0$ de degré $n - p$ .

C’est une conséquence immédiate de la formule (2) de VI, p. 2 et de la définition de l’ordre de $U$ .

Il est clair que tout opérateur $U$ d’ordre $p$ peut s’écrire d’une seule manière $U = D^p V = V D^p$ , où $V$ est un opérateur d’ordre 0 (donc inversible).

Définition 2

Soit $U = D^p V$ un opérateur de composition d’ordre $p$ dans $\mathbf{K}[X]$ . On appelle polynôme d’Appell d’indice $n$ attaché à l’opérateur $U$ le polynôme $u_n(X) = V^{-1}(X^n)$ .

Si $V^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \beta_k D^k$ (avec $\beta_0 \neq 0$ ) on a donc

u_n(X) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \beta_k X^{n-k}.

On vérifie ainsi que $u_n$ est un polynôme de degré $n$ (prop. 3); on a en outre

u_n(0) = \beta_n.

Proposition 4

Les polynômes d’Appell attachés à $U$ satisfont aux relations

\frac{du_n}{dX} = n \cdot u_{n-1}

u_n(X + Y) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u_{n-k}(X) Y^k

U(u_n(X)) = \frac{n!}{(n-p)!} X^{n-p}.

Ces formules sont en effet respectivement équivalentes aux relations suivantes (compte tenu de la déf. 2):

(10) $DV^{-1} = V^{-1}D$ (11) $(\exp(\mathrm{YD}_X))\ V_X^{-1} = V_X^{-1}\exp(\mathrm{YD}_X)$ (12) $UV^{-1} = D^p.$

Proposition 5

Pour tout polynôme* $f \in \mathbf{K}[X]$ *et tout opérateur de composition U d’ordre p, on a

f^{(p)}(X + Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\ U(f^{(k)}(X))u_k(Y)

(développement taylorien généralisé).

En effet, si on pose $U = D^pV = VD^p$ , on a (VI, p. 2, formule (1))

V_X^{-1}(f(X + Y)) = V_Y^{-1}(f(X + Y)) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\ f^{(k)}(X)u_k(Y)

en raison de la formule de Taylor et de la déf. 2 de VI, p. 5; il suffit d’appliquer l’opérateur $U_X$ aux deux membres extrêmes de la formule (14) pour obtenir (13).

3. Série génératrice des polynômes d’Appell

Soit E l’anneau des séries formelles à une indéterminée S, à coefficients dans l’anneau de polynômes $\mathbf{K}[X]$ (A, IV, § 5) autrement dit, l’anneau des séries formelles $g(X, S) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n(X)S^n$ , où les $\alpha_n$ appartiennent à $\mathbf{K}[X]$ . Pour tout opérateur U dans $\mathbf{K}[X]$ , on définit une application $U_X$ de E dans lui-même en posant $U_X(g(X, S)) = \sum_{n=0}^{\infty} U(\alpha_n)S^n$ . Il est clair que E est un module sur l’anneau $\mathbf{K}[[S]]$ des séries formelles en S à coefficients dans $\mathbf{K}$ ; en raison de la linéarité de U dans $\mathbf{K}[X]$ , on vérifie aussitôt que pour tout élément $\theta \in \mathbf{K}[[S]]$ et tout $g \in E$ , on a $U_X(\theta g) = \theta U_X(g)$ ; autrement dit, $U_X$ est une application linéaire du module E dans lui-même.

Proposition 6

Soit* $U = D^pV = u(D)$ un opérateur de composition d’ordre p dans $\mathbf{K}[X]$ , u(S) étant une série d’ordre formelle p dans $\mathbf{K}[[S]]$ . *On a alors les formules

U_X(\exp(XS)) = u(S).\exp(XS)

\frac{S^p}{u(S)}\exp(XS) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\ u_n(X)S^n

$u_n$ étant le polynôme d’Appell d’indice n attaché à U.

D’après le scholie du th. 1 (VI, p. 4), pour établir la formule (15), il suffit de démontrer que, pour tout polynôme $f(Y) \in K[Y]$ , on a

U_X(\exp(XD_Y)(f(Y))) = u(D_Y)(\exp(XD_Y)(f(Y))).

Or, le premier membre de (17) est

U_X(f(X + Y))

, et comme

U = u(D)

, le second membre de (17) est

U_Y(f(X + Y))

, si bien que l’identité (17) se réduit à (1) (VI, p. 2).

Il suffit ensuite d’appliquer (15) à l’opérateur de composition $V^{-1} = D^n/u(D)$ pour obtenir (16), puisque, par définition, on a

V^{-1}(\exp(XS)) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u_n(X) S^n.

On notera que la formule (16) s’obtient aussi en multipliant les séries formelles

S^n/u(S)

\exp(XS)

, compte tenu de (6).

On dit que la série formelle (16) est la série génératrice des polynômes d’Appell attachés à $U$ .

4. Polynômes de Bernoulli

Considérons l’opérateur de composition $U$ défini par

U(f(X)) = f(X + 1) - f(X);

on peut l’écrire

U = e^D - 1

(VI, p. 2, Exemple 1); c’est un opérateur d’ordre 1, et si on pose

U = DV

, on a

V^{-1} = \frac{D}{e^D - 1}

. Le polynôme d’Appell de degré

n

correspondant à l’opérateur

U

s’appelle polynôme de Bernoulli de degré

n

et se note

B_n(X)

; si on pose

b_n = B_n(0)

, on a les formules

B_n(X) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b_{n-k} X^k

\frac{Se^{XS}}{e^S - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} B_n(X) S^n

et en particulier

\frac{S}{e^S - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} b_n S^n.

Les formules (7) et (9) de VI p. 5, donnent, pour les polynômes de Bernoulli, les relations

\frac{dB_n}{dX} = n B_{n-1}(X)

B_n(X + 1) - B_n(X) = n X^{n-1}.

En particulier, on a $B_n(1) - B_n(0) = 0$ pour $n > 1$ , ce qui, compte tenu de (18), donne la relation de récurrence

\sum_{m=0}^{n-1} \binom{n}{m} b_m = 0 \quad (\text{pour } n > 1)

qui permet de calculer de proche en proche les $b_n$ . Ces nombres sont évidemment rationnels; comme on peut écrire

\frac{S}{e^s - 1} = -\frac{S}{2} + \frac{S}{2} \frac{e^s + 1}{e^s - 1}

et que l’on a (VI, p. 4, formule (5))

\frac{e^{-s} + 1}{e^{-s} - 1} = -\frac{e^s + 1}{e^s - 1}

on voit que, dans la série formelle $\frac{S}{2} \frac{e^s + 1}{e^s - 1}$ , tous les termes de degré impair ont un coefficient nul; on a donc

b_0 = 1, \quad b_1 = -\frac{1}{2}, \quad b_{2n-1} = 0 \quad \text{pour } n > 1.

Les nombres rationnels $b_{2n}$ ( $n \geq 1$ ) sont appelés nombres de Bernoulli; nous verrons (VI, p. 19) que $b_{2n}$ a le signe de $(-1)^{n-1}$ . La formule (23) donne, pour les premières valeurs de $n$ ,

\begin{align*} b_2 &= \frac{1}{6}, & b_4 &= -\frac{1}{30}, & b_6 &= \frac{1}{42}, & b_8 &= -\frac{1}{30}, \\ b_{10} &= \frac{5}{66}, & b_{12} &= -\frac{691}{2730}, & b_{14} &= \frac{7}{6}, \\ b_{16} &= -\frac{3617}{510}, & b_{18} &= \frac{43867}{798}, & b_{20} &= -\frac{174611}{330}, & b_{22} &= \frac{854513}{138}, \\ b_{24} &= -\frac{236364091}{2730}, & b_{26} &= \frac{8553103}{6}, & b_{28} &= -\frac{23749461029}{870}. \end{align*}

On notera que les numérateurs 691, 3617, 43867 sont premiers; les autres ont pour factorisations

\begin{align*} 174611 &= 283 \times 617 \\ 854513 &= 11 \times 131 \times 593 \\ 236364091 &= 103 \times 2294797 \\ 8553103 &= 13 \times 657931 \\ 23749461029 &= 7 \times 9349 \times 362903 \end{align*}

tous les facteurs des seconds membres étant premiers.

On en déduit pour expression des premiers polynômes de Bernoulli

B_0(X) = 1, \quad B_1(X) = X - \frac{1}{2}, \quad B_2(X) = X^2 - X + \frac{1}{6},

B_3(X) = X^3 - \frac{3}{2}X^2 + \frac{1}{2}X, \quad B_4(X) = X^4 - 2X^3 + X^2 - \frac{1}{30}.

5. Opérateurs de composition sur les fonctions d’une variable réelle

Soit I un intervalle de $\mathbf{R}$ contenant l’intervalle $\mathbf{R}_+ = (0, +\infty[$ ; soit E un espace vectoriel sur le corps $\mathbf{C}$ , formé de fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes, définies dans I. Nous supposerons que, pour tout $a \geqslant 0$ et toute fonction $f \in E$ , la fonction $x \mapsto f(x + a)$ appartient à E; en outre, nous supposerons que E contient les restrictions à I des polynômes à coefficients complexes et des exponentielles $e^{\lambda x}$ , où $\lambda$ est un nombre complexe quelconque. Nous appellerons opérateur dans E toute application linéaire $U$ de E dans l’espace de toutes les applications de I dans le corps $\mathbf{C}$ des nombres complexes; si $f \in E$ et $g = U(f)$ , il sera commode d’utiliser la notation

g(x) = U_{\xi}(f(\xi))

$\xi$ étant donc une variable muette dans le symbole fonctionnel du second membre (cf. II, p. 9). Pour tout $a \geqslant 0$ , l’opérateur qui, à toute fonction $f \in E$ , associe la restriction à I de la fonction $x \mapsto f(x + a)$ , est appelé l’opérateur de translation par a.

Définition 3

On dit qu’un opérateur $U$ dans E est un opérateur de composition si, pour tout $a \geqslant 0$ , il est permutable avec l’opérateur de translation par a.

Avec la notation introduite ci-dessus, cette définition se traduit par l’identité en $x$ et $a$ ( $x \in I, a \geqslant 0$ )

U_{\xi + a}(f(\xi)) = U_{\xi}(f(\xi + a)).

Dans cette identité, on peut échanger les rôles de $x$ et $a$ si $x \geqslant 0$ , puis faire $a = 0$ ; on obtient ainsi, pour tout $x \geqslant 0$ .

U_{\xi}(f(\xi)) = U_{0}(f(\xi + x))

$U_0$ étant la forme linéaire sur E qui, à toute fonction $f \in E$ , fait correspondre la valeur $g(0)$ de $g = U(f)$ .

Si $f$ est un polynôme, on a $f(\xi + x) = \sum_{k=0}^{s} \frac{1}{k!} f^{(k)}(\xi)x^k$ , et la formule (26) montre donc que $U(f)$ est un polynôme; restreint à l’ensemble des polynômes en $x$ , à coefficients dans $\mathbf{C}$ (ensemble qu’on peut identifier à l’algèbre $\mathbf{C}[X]$ ), l’opérateur $U$ est donc un opérateur de composition au sens de la déf. 1 de VI, p. 2, et tous les résultats des numéros précédents lui sont applicables.

Nous désignerons encore par $u_n$ les polynômes d’Appell attachés à l’opérateur $U$ . Au développement taylorien généralisé d’un polynôme (VI, p. 6, formule (13)) correspond, pour des fonctions plus générales, le résultat suivant:

Théorème 2

Soit $f$ une fonction admettant une dérivée $(n+1)$ -ème continue dans $I$ , et appartenant à $E$ ainsi que toutes ses dérivées $f^{(m)}$ pour $1 \leq m \leq n$ . Si $U$ est un opérateur de composition d’ordre $p \leq n$ dans $E$ , on $a$ , pour $x \geq 0$ et $h \geq 0$

f^{(p)}(x + h) = \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} u_m(x) \ U_h^{\xi}(f^{(m)}(\xi)) + R_n(x, h)

avec

R_n(x, h) = - U_h^{\xi} \left( \int_0^{\xi-x-h} \frac{1}{n!} u_n(x+\eta) f^{(n+1)}(\xi-\eta) d\eta \right)

(développement taylorien généralisé).

Considérons l’intégrale $\int_0^{\xi-x-h} \frac{1}{n!} u_n(x+\eta) f^{(n+1)}(\xi-\eta) d\eta$ , définie pour tout $\xi \in I$ , et appliquons-lui la formule d’intégration par parties d’ordre $n$ (II, p. 10, formule (11)); en tenant compte des relations

u_n^{(k)} = n(n-1) \ldots (n-k+1) u_{n-k}

déduites de (7) (VI, p. 5) par récurrence, il vient

\int_0^{\xi-x-h} \frac{1}{n!} u_n(x+\eta) f^{(n+1)}(\xi-\eta) d\eta

= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} u_m(x) f^{(m)}(\xi) - \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} u_m(\xi-h) f^{(m)}(x+h).

Appliquons l’opérateur $U$ aux deux membres de la formule (29), considérés comme fonctions de $\xi$ , puis prenons la valeur de la fonction obtenue pour la valeur $h$ de la variable $\xi$ ; en remarquant que, d’après les formules (26) (VI, p. 9) et (9) (VI, p. 5), on a

U_h^{\xi}(u_m(\xi-h)) = U_0^{\xi}(u_m(\xi)) = \begin{cases} 0 & \text{pour } m \neq p \\ p! & \text{pour } m = p \end{cases}

on obtient finalement la formule (27).

6. Indicatrice d’un opérateur de composition

Les hypothèses étant les mêmes que dans le no 5, la formule (26) de VI, p. 9, appliquée à la fonction $e^{\lambda x}$ , donne

U_x^{\xi}(e^{\lambda x}) = U_0^{\xi}(e^{\lambda x} e^{\lambda \xi}) = e^{\lambda x} U_0^{\xi}(e^{\lambda \xi}) = u(\lambda) e^{\lambda x}

en posant $u(\lambda) = U_0^x(e^{\lambda x})$ . On dit que la fonction $u(\lambda)$ , définie dans $\mathbf{C}$ et à valeurs complexes, est l’indicatrice de l’opérateur de composition $U$ . On notera que, si la restriction de $U$ à l’anneau $\mathbf{C}[X]$ des polynômes est égale à la série

D^p \sum_{n=0}^\infty \alpha_n D^n

(VI, p. 4, th. 1) (que nous avons notée

u(D)

dans VI, p. 4), la série à termes complexes dont le terme général est

\alpha_n \lambda^{n+p}

n’est pas nécessairement convergente pour

\lambda \neq 0

, et que, même si elle converge pour certaines valeurs de

\lambda

, sa somme n’est pas nécessairement égale à l’indicatrice

u(\lambda)

U

(VI, p. 22, exerc. 2). Nous dirons que l’opérateur de composition

U

est régulier s’il existe un voisinage de

0

dans

\mathbf{C}

-tel-que la série de terme général

\alpha_n \lambda^{n+p}

soit absolument convergente et ait une somme égale à l’indicatrice

u(\lambda)

dans ce voisinage¹.

Appliquons la formule (27) de VI, p. 10, à la fonction $e^{\lambda x}$ , en faisant $h = 0$ ; comme $D^m(e^{\lambda x}) = \lambda^m e^{\lambda x}$ , on a $U_0^x(D^n(e^{\lambda x})) = \lambda^n u(\lambda)$ ; il vient donc, pour tout $\lambda$ complexe tel que $u(\lambda) \neq 0$

\frac{\lambda^p e^{\lambda x}}{u(\lambda)} = \sum_{m=0}^n u_m(x) \frac{\lambda^m}{m!} - \frac{\lambda^{n+1}}{u(\lambda)} U_0^x \left( \int_0^{\xi-x} \frac{1}{n!} u_n(x+\eta) e^{\lambda(x-\eta)} d\eta \right)

et en particulier, pour

x = 0

\frac{\lambda^p}{u(\lambda)} = \sum_{m=0}^n \beta_m \frac{\lambda^m}{m!} - \frac{\lambda^{n+1}}{u(\lambda)} \cdot U_0^x \left( \int_0^{\xi} \frac{1}{n!} u_n(\eta) e^{\lambda(\xi-\eta)} d\eta \right)

avec

\beta_m = u_m(0)

Si $U$ est un opérateur régulier, pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que les séries entières $u(\lambda) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \lambda^{n+p}$ et $\sum_{n=0}^\infty \beta_n \frac{\lambda^n}{n!}$ soient absolument convergentes², il résulte-de-la formule (16) et de la formule donnant le produit de deux séries absolument convergentes (TG, VIII, p. 16, prop. 1) que l’on a

\frac{\lambda^p}{u(\lambda)} = \sum_{n=0}^\infty \beta_n \frac{\lambda^n}{n!}.

De même, puisque le développement en série de Taylor de

e^{\lambda x}

est absolument convergent pour tout

\lambda \in \mathbf{C}

et tout

x \in \mathbf{C}

(III, p. 15) on a aussi (formules (6) (VI, p. 5) et (16) (VI, p. 6), pour toutes les valeurs considérées et pour tout

x \in \mathbf{C}

\frac{\lambda^p e^{\lambda x}}{u(\lambda)} = \sum_{n=0}^\infty u_n(x) \frac{\lambda^n}{n!}

¹ Nous ferons plus tard l’étude des séries dont le terme général est de la forme $c_n z^n$ ( $c_n \in \mathbf{C}, z \in \mathbf{C}$ ), qu’on appelle séries entières; on verra en particulier que lorsqu’une telle série est absolument convergente pour $z = z_0$ , elle est normalement convergente pour $|z| \leq |z_0|$ .

² Il résulte de la théorie des séries entières que lorsque l’une de ces séries est absolument convergente dans un voisinage $V$ de $0$ , l’autre est absolument convergente dans un voisinage $W \subset V$ de $0$ .

Remarque

On peut utiliser la formule (33) (resp. (34)) pour le calcul des $\beta_n$ (resp. des $u_n(x)$ ) en utilisant le lemme suivant de la théorie des séries entières:

Lemme

Si deux séries entières $\sum_{n=0}^\infty c_n \lambda^n \sum_{n=0}^\infty d_n \lambda^n$ sont absolument convergentes pour tout $\lambda$ dans un voisinage de 0, et si on a $\sum_{n=0}^\infty c_n \lambda^n = \sum_{n=0}^\infty d_n \lambda^n$ pour ces valeurs de $\lambda$ , alors $c_n = d_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$ .

Si, par un procédé quelconque, on peut obtenir une série entière convergente égale à $\lambda^n / u(\lambda)$ dans un voisinage de 0, les coefficients de cette série sont nécessairement égaux aux $\beta_n$ . C’est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui suivent.

Exemple 1

Si $U$ est l’application identique, on a $u(\lambda) = 1$ , et l’opérateur $U$ est évidemment régulier; comme $u_n(x) = x^n$ , la formule (27) de VI, p. 10, s’écrit, en posant $t = \xi - \eta$

f(x + h) = \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} f^{(m)}(h)x^m + \int_h^{x+h} f^{(n+1)}(t) \frac{(x + h - t)^n}{n!} dt

c’est-à-dire se réduit à la formule de Taylor (II, p. 12).

Exemple 2

Prenons pour $U$ l’opérateur de composition qui, à toute fonction $f$ définie dans $\mathbf{R}_+$ , fait correspondre la fonction $x \mapsto f(x + 1) - f(x)$ ; on a donc

U_\xi^{\eta}(f(\xi)) = f(x + 1) - f(x);

nous avons vu (VI, p. 7) que la restriction de $U$ à $\mathbf{C}[X]$ est égale à $e^D - 1$ . Comme d’autre part $u(\lambda) = e^\lambda - 1$ , l’opérateur $U$ est régulier; nous verrons (VI, p. 19) comment on peut déterminer les nombres de Bernoulli $b_n$ en calculant un développement en série entière convergente de $\frac{\lambda}{e^\lambda - 1}$ . En appliquant la formule (27) de VI, p. 10, à une primitive de la fonction $f$ , il vient

f(x + h) = \int_h^{h+1} f(t) dt \\ + \sum_{m=1}^n \frac{1}{m!} B_m(x)(f^{(m-1)})(h + 1) - f^{(m-1)}(h)) + R_n(x, h)

avec

R_n(x, h) = - \int_0^{1-x} \frac{B_n(x + \eta)}{n!} f^{(n)}(h + 1 - \eta) d\eta \\ + \int_0^{-x} \frac{B_n(x + \eta)}{n!} f^{(n)}(h - \eta) d\eta.

1 Ce lemme est un cas particulier d’un résultat général que nous démontrerons plus tard; en voici la démonstration. Si une série entière $\sum_{n=0}^\infty c_n \lambda^n$ est absolument convergente pour $\lambda = \lambda_0$ , pour tout entier $k \geqslant 0$ la série $\sum_{n=0}^\infty c_{n+k} \lambda^n$ est normalement convergente pour $|\lambda| \leqslant |\lambda_0|$ , donc est continue dans ce disque (TG, X, p. 10); on en conclut que $\sum_{n=k+1}^\infty c_n \lambda^n = o(\lambda^k)$ au voisinage de 0. Le lemme résulte alors de l’unicité des coefficients du développement asymptotique d’une fonction suivant les $\lambda^n$ (V, p. 12).

Exemple 3

Soit E l’espace vectoriel des fonctions f définies et continues dans $\mathbf{R}$ , telles en outre que l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x + \xi)e^{-\xi^2/2}\ d\xi$ soit convergente pour tout $x \geqslant 0$ . L’opérateur U défini par

U_0^x(f(\xi)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} f(x + \xi)d\xi

est donc défini dans E et est évidemment un opérateur de composition. L’espace E contient toutes les exponentielles $e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ complexe quelconque), et on a

u(\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi^2/2) + \lambda \xi}\ d\xi = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\lambda^2/2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi - \lambda)^2/2}d\xi = e^{\lambda^2/2}

(cf. III, p. 28, exerc. 24, et VII, p. 9, formule (22)). On a $n! \alpha_n = U_0^n(\xi^n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} \xi^n d\xi$ . Pour tout entier n, on peut écrire

\sum_{k=0}^n \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|\lambda \xi|^k}{k!} e^{-\xi^2/2} d\xi \leqslant 2 \int_0^{+\infty} e^{-(\xi^2/2) + |\lambda| \xi} d\xi.

La série $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\xi^2/2} \frac{(\lambda \xi)^n}{n!}$ peut donc être intégrée terme à terme dans $\mathbf{R}$ (II, p. 22) cor. 1), ce qui prouve que la série $\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \lambda^n$ converge absolument pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ , et a une somme égale à $u(\lambda) = e^{\lambda^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2n}}{2^n n!}$ ; l’opérateur U est donc régulier. L’application du lemme énoncé ci-dessus montre que $\alpha_{2n} = 1/2^n n!$ , $\alpha_{2n+1} = 0$ pour tout $n \geqslant 0$ ; l’opérateur U est donc d’ordre 0. On a

1/u(\lambda) = e^{-\lambda^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \lambda^{2n}}{2^n n!},

la série étant absolument convergente pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ ; une nouvelle application du lemme montre que $\beta_{2n} = \frac{(-1)^n (2n)!}{2^n n!}$ , $\beta_{2n+1} = 0$ ; en outre, la série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} u_n(x)$ est absolument convergente pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ et tout $x \in \mathbf{R}$ , et on a

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} u_n(x) = \exp \left( -\frac{\lambda^2}{2} + \lambda x \right) = \exp \left( \frac{x^2}{2} \right) \exp \left( -\frac{1}{2}(\lambda - x)^2 \right).

En appliquant la formule de Taylor à la fonction $\exp \left( -x^{2/2} \right)$ , on obtient donc l’expression suivante des polynômes $u_n(x)$ ;

u_n(x) = (-1)^n e^{x^{2/2}} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^{2/2}}).

Ce polynôme est appelé polynôme d’Hermite de degré n, et se note le plus souvent $H_n(x)$ . Les formules (7), (8) et (9) de VI, p. 5, donnent ici

\frac{dH_n}{dx} = nH_{n-1}(x)

H_n(x + y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{n-k}(x) y^k

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} H_n(x + \xi)d\xi = x^n

et la formule (27) de VI, p. 10, devient, pour $h = 0$

\sqrt{2\pi} f(x) = \sum_{m=0}^{n} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2/2} f^{(m)}(\xi) d\xi \right) \frac{H_m(x)}{m!} - \int_{-\infty}^{+\infty} d\xi \int_0^x \frac{H_n(x+\eta)}{n!} e^{-(\xi+x)^2/2} f^{(n+1)}(x+\xi-\eta) d\eta.

7. La formule sommatoire d’Euler-Maclaurin

Dans la formule (35) de VI, p. 12, remplaçons $x$ par $0$ , et $h$ par $x$ ; comme $B_m(0) = b_m$ , il résulte des relations (24) de VI, p. 8, qu’on peut écrire, pour tout entier $p > 0$

f(x) = \int_x^{x+1} f(t) \, dt - \frac{1}{2}(f(x+1) - f(x))

+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k-1)}(x+1) - f^{(2k-1)}(x)) + R_p(x)

avec

R_p(x) = -\frac{1}{(2p+1)!} \int_0^1 B_{2p+1}(t) f^{(2p+1)}(x+1-t) \, dt.

Dans cette formule, remplaçons successivement $x$ par $x+1, x+2, \ldots, x+n$ , et ajoutons les formules obtenues membre à membre; il vient

\begin{cases} f(x) + f(x+1) + \cdots + f(x+n) \\ = \int_x^{x+n+1} f(t) \, dt - \frac{1}{2} (f(x+n+1) - f(x)) \\ + \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k-1)}(x+n+1) - f^{(2k-1)}(x)) + T_p(x, n) \end{cases}

avec

T_p(x, n) = -\frac{1}{(2p+1)!} \int_0^1 B_{2p+1}(t) \left( \sum_{k=0}^n f^{(2p+1)}(x+k+1-t) \right) dt.

Le reste $T_p(x, n)$ de cette formule peut encore s’écrire de la façon suivante: désignons par $\overline{B}_{2p+1}(t)$ la fonction périodique de période 1, égale à $B_{2p+1}(t)$ dans l’intervalle $(0, 1[$ . On a alors

\int_0^1 B_{2p+1}(t) f^{(2p+1)}(x+k+1-t) dt = \int_k^{k+1} \overline{B}_{2p+1}(1-s) f^{(2p+1)}(x+s) ds

et par suite

T_p(x, n) = -\frac{1}{(2p+1)!} \int_0^{n+1} \overline{B}_{2p+1}(1-s) f^{(2p+1)}(x+s) ds.

La formule (39) est dite formule sommatoire d’Euler-Maclaurin; elle est applicable à toute fonction complexe ayant une dérivée $(2p+1)$ -ème continue dans un intervalle $\{x_0, +\infty\}$ , pour tout $x \geq x_0$ . Nous verrons (VI, p. 20) comment on peut majorer le reste $T_p(x, n)$ de cette formule.

Exercices

See the exercises for § 1.