Remarque 2

Soient $g$ une algèbre de Lie sur $K$, et $\sigma$ une représentation de $g$ dans un espace vectoriel $M$. Soit d’autre part $f$ une application K-linéaire de g dans M telle que :

(1)

quels que soient x, y dans g. D’après le § 1, n° 8, exemple 2, la donnée de $\sigma$ et $f$ équivaut à la donnée d’un homomorphisme $x \mapsto (f(x), \sigma(x))$ de g dans $\mathfrak{af}(M)$. On a vu d’autre part (loc. cit.) que l’élément $(f(x), \sigma(x))$ de $\mathfrak{af}(M)$ s’identifie canoniquement à l’élément $\rho(x)$ de $\mathrm{gl}(N)$ (où $N = M \times K$) qui induit $\sigma(x)$ sur M et transforme l’élément $(0, 1)$ de N en $f(x)$. Et $\rho$ est alors une représentation de g dans N telle que $\rho(x)(N) \subset M$ pour tout $x \in g$.

Ceci posé, si g est semi-simple, il existe (lemme 3) une droite Z supplémentaire de M dans N et annulée par $\rho(g)$. Autrement dit, il existe un élément $m_0 \in M$ tel que $(-m_0, 1) \in N$ soit annulé par $\rho(x)$ pour tout $x \in g$, c’est-à-dire tel que

(2)

pour tout $x \in g$.

Supposons $K = \mathbf{R}$. Soit G un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie g. Considérons un homomorphisme analytique $\varphi$ de G dans le groupe affine A de M, correspondant à un homomorphisme $x \to (f(x), \sigma(x))$ de g dans $\mathfrak{af}(M)$. Les résultats précédents peuvent s’interpréter en disant que, si g est semi-simple, $\varphi(G)$ laisse fixe un point de M. En effet, soit H l’ensemble des éléments de $\mathbf{GL}(N)$ qui laissent stables toutes les variétés linéaires de N parallèles à M. Il existe (§ 1, n° 8, exemple 2) un isomorphisme canonique $\psi$ de A sur H. Soit Z une droite supplémentaire de M dans N. Dire que $\rho(g)$ annule Z revient à dire que $(\psi \circ \varphi)(G)$ laisse fixes les points de Z, donc (compte tenu de la définition de $\psi$) que $\varphi(G)$ laisse fixe la projection sur M du point d’intersection de Z et de $M \times \{1\}$. \