Remarque 2

Étiquette 0E7X, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E7X].

Lie Groups and Lie Algebras, chapter II, § 1. Bigèbre enveloppante d'une algèbre de Lie

Par définition, le diagramme

0 \to P(E) \to E^+ \xrightarrow{c^+} E^+ \otimes E^+

est une suite exacte. Si K' est un anneau commutatif et ρ : K → K' un homomorphisme d’anneaux, $\rho^*(E) = E \otimes_K K'$ est une K'-bigèbre et l’inclusion P(E) → E définit un homomorphisme de K'-algèbres de Lie

\alpha : P(E) \otimes_K K' \to P(E \otimes_K K').

0 \to P(E) \otimes_K K' \to E^+ \otimes_K K' \xrightarrow{\varepsilon^+ \otimes_K \mathrm{Id}_{K'}} (E^+ \otimes_K K') \otimes_{K'} (E^+ \otimes_K K')

est une suite exacte, ce qui entraîne que $\alpha$ est un isomorphisme.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.