Remarque 2

L’application $\eta$ est l’unique morphisme de cogèbres graduées de $S(g)$ dans $U$ tel que $\eta(1) = 1$ et $\eta(x) = \sigma(x)$ pour $x \in g$. En effet, si $\eta'$ est un morphisme satisfaisant à ces conditions, prouvons par récurrence sur $n$ que $\eta'(x^n) = \eta(x^n)$ pour $x \in \mathfrak{g}$ et $n > 1$. Comme $c_S^+(x^n) = \sum_{i=1}^{n-1} \binom{n}{i} x^i \otimes x^{n-i}$ d’après (3) et (11), on a $(\eta \otimes \eta)(c_S^+(x^n)) = (\eta' \otimes \eta')(c_S^+(x^n))$ par l’hypothèse de récurrence. Il s’ensuit que $c^+(\eta(x^n)) = c^+(\eta'(x^n))$; il en résulte que $\eta(x^n) - \eta'(x^n)$ est un élément primitif de degré $n$, donc est nul (cor. de la prop. 9).