Remarque 4

Soit V un espace vectoriel. Les éléments primitifs de la bigèbre S(V) sont les éléments de degré 1. Cela résulte en effet du cor. de la prop. 9 appliqué à l’algèbre de Lie commutative V.

Soit $(e_i)_{i \in I}$ une base du K-espace vectoriel $\mathfrak{g}$, où l’ensemble d’indices I est muni d’un ordre total. Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^{(I)}$, on pose

Les $e_\alpha$, pour $|\alpha| \leq n$, forment une base du K-espace vectoriel $U_n$ (chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 du th. 1). On a Comme l’algèbre graduée associée à l’algèbre filtrée U est commutative (loc. cit., th. 1), on a, pour $\alpha, \beta$ dans $\mathbf{N}^{(I)}$, où $((\alpha, \beta)) = \prod_{i \in I} \frac{(\alpha(i) + \beta(i))!}{\alpha(i)! \beta(i)!}$.

D’autre part, on a aussitôt

Enfin, la formule (12) entraîne que, pour $\alpha \in \mathbf{N}^{(I)}$, on a Cette formule permet de déterminer l’algèbre $U' = \mathrm{Hom}(U, K)$ duale de la cogèbre U (A, III, p. 143). Soit en effet $K[[X_i]]_{i \in I}$ l’algèbre des séries formelles par rapport à des indéterminées $(X_i)_{i \in I}$ (cf. A, III, p. 28); si $\lambda \in U'$, notons $f_\lambda$ la série formelle l’indice de sommation $\alpha$ parcourant $\mathbf{N}^{(I)}$.