Remarque 4

Étiquette 0E83, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E83].

Lie Groups and Lie Algebras, chapter II, § 3. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie libre

Soit $A$ une algèbre associative unifère, et soit $t = (t_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $A$ . On a un diagramme

\begin{array}{ccc} L(I) & \xrightarrow{f_t} & A \\ \downarrow i & & \uparrow g_t \\ A(I) \end{array}

où $i$ est l’injection canonique, $f_t$ est l’homomorphisme d’algèbre de Lie défini par $t$ et $g_t$ l’homomorphisme d’algèbre unifère tel que $g_t(i) = t_i$ pour $i \in I$ . Le diagramme est commutatif car $g_t \circ i$ et $f_t$ coïncident dans $I$ . Il en résulte que, si $P \in L(I)$ , l’élément $P((t_i)_{i \in I})$ défini au § 2, n° 4, coïncide avec l’élément $P((t_i)_{i \in I})$ défini en A, III, p. 24, Exemple 2.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.