Remarque 4

Soit $E$ une algèbre associative unifière. Si $a$ est un élément nilpotent de $E$, la famille $\left( \frac{a^n}{n!} \right)_{n \in \mathbf{N}}$ est à support fini et on pose $\exp a = \sum_{n \geq 0} a^n/n!$. On dit qu’un élément $b$ est unipotent si $b - 1$ est nilpotent; on pose alors $\log b = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1}(b - 1)^n/n$. On déduit des relations $e(l(X)) = l(e(X)) = X$ que l’application $a \mapsto \exp a$ est une bijection de l’ensemble des éléments nilpotents de $E$ sur l’ensemble des éléments unipotents de $E$, et que $b \mapsto \log b$ en est l’application réciproque.