Remarque 3

Soit $g$ une algèbre de Lie munie de la filtration entière $(\mathscr{C}^n g)$ définie par la suite centrale descendante. Supposons qu’il existe un $m \geq 1$ tel que $\mathscr{C}^m g = \{0\}$. Pour la topologie déduite de la filtration $(\mathscr{C}^n g)_{n \geq 1}$, l’algèbre de Lie $g$ est séparée, complète, et même discrète. On a $P(a_1, \ldots, a_r) = 0$ pour $a_1, \ldots, a_r$ dans $g$ et pour tout polynôme de Lie $P$ homogène de degré $\geq m$; en particulier, on a $H_{r,s}(a, b) = 0$ pour $r + s \geq m$, et la série $H(a, b) = \sum_{r,s} H_{r,s}(a, b)$ n’a qu’un nombre fini de termes non nuls. La loi de groupe $(a, b) \mapsto H(a, b)$ sur $g$ est alors une application polynomiale (§ 2, n° 4).

§ 5 LA SÉRIE DE HAUSDORFF