Exemple 3

Soient G un groupe de Lie, E un espace normable complet. On appelle représentation linéaire analytique de G dans E (ou simplement représentation linéaire de G dans E si aucune confusion n’est à craindre) un morphisme du groupe de Lie G dans le groupe de Lie $\mathbf{GL}(E)$, autrement dit une application analytique $\pi$ de G dans $\mathbf{GL}(E)$ telle que $\pi(gg') = \pi(g)\pi(g')$ pour $g, g'$ dans G. Supposons que E admette une base finie $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ sur $K$; soit $(e_1^*, e_2^*, \ldots, e_n^*)$ la base duale; soit $\rho$ un homomorphisme du groupe $G$ dans le groupe $\mathbf{GL}(E)$; alors les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) $\rho$ est une représentation linéaire analytique; (ii) quels que soient $x \in E$ et $x' \in E'$, la fonction $g \mapsto \langle \rho(g)x, x' \rangle$ sur $G$ est analytique; (iii) quels que soient $i$ et $j$, la fonction $g \mapsto \langle \rho(g)e_i, e_j^* \rangle$ sur $G$ est analytique. En effet, les implications (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) sont claires. D’autre part, les fonctions $u \mapsto \langle ue_i, e_j^* \rangle$ forment un système de coordonnées sur $\mathscr{L}(E)$; donc leurs restrictions à $\mathbf{GL}(E)$ forment un système de coordonnées sur $\mathbf{GL}(E)$, d’où l’implication (iii) $\Rightarrow$ (i).

Soient $G$ un groupe de Lie réel, $E$ un espace normable complet réel, $\rho$ un homomorphisme du groupe $G$ dans le groupe $\mathbf{GL}(E)$. On verra au § 8, th. 1, que, si $\rho$ est continu (lorsque $\mathbf{GL}(E)$ est muni de la topologie déduite de la norme de $\mathscr{L}(E)$), alors $\rho$ est analytique. Mais on prendra garde que cette notion de continuité est différente de celle considérée en INT, VIII, § 2, déf. 1 (ii) (exerc. 1).