Exemple 2

Soit A une algèbre associative unifière normée complète. Soit A* le groupe de Lie formé par les éléments inversibles de A. Identifions L(A*) à A (§ 3, n° 9, cor. de la prop. 33). Si K = R ou C, on sait que l’application exp de A dans A* définie au chap. II, § 7, n° 3, vérifie la condition (i) du th. 4, donc est une application exponentielle. Soit maintenant K ultramétrique. Soit p la caractéristique du corps résiduel de K. Si p ≠ 0, posons λ = |p|^{1/(p-1)}; si p = 0, posons λ = 1. Soit U l’ensemble des x ∈ A tels que \| x \| < λ. On sait (chap. II, § 8, n° 4) que l’application exp de U dans A* vérifie la condition (i) du th. 4, donc est une application exponentielle. Remarquons que U est un sous-groupe additif de A.

Cet exemple explique la terminologie adoptée dans la déf. 1.

Soient G un groupuscule de Lie, φ une application exponentielle de G. Alors φ est étale en 0, donc il existe un voisinage ouvert U de 0 dans L(G) tel que φ(U) soit ouvert dans G et que φ|U soit un isomorphisme de la variété analytique U sur la variété analytique φ(U).

On appelle carte canonique (de première espèce) de G une carte ψ de la variété analytique G dont l’application réciproque est une application exponentielle. Si de plus G est de dimension finie et si on choisit une base de L(G), le système de coordonnées défini par ψ et par cette base dans le domaine de ψ s’appelle un système de coordonnées canoniques (de première espèce).