En considérant la trivialisation gauche de T(G) ( , n° 3), on voit aussitôt que les g\mathfrak{h}, pour $g \in G$, sont les fibres d’un sous-fibré vectoriel E de T(G). Soit $g \in G$. L’ensemble des $(L_a)_g$, où $a \in \mathfrak{h}$, est égal à $g\mathfrak{h}$. Or, si $a$ et $b$ appartiennent à $\mathfrak{h}$, on a $[L_a, L_b] = L_{[a, b]}$, et $[a, b] \in \mathfrak{h}$. Donc E est intégrable (VAR, R, 9.3.3 (iv)). On raisonne de même pour les $\mathfrak{h}g$

Le feuilletage intégral (VAR, R, 9.3.2) de la réunion des $g\mathfrak{h}$ (resp. $\mathfrak{h}g$) s’appelle le feuilletage gauche (resp. droit) de G associé à $\mathfrak{h}$.

(i) Il existe un sous-groupuscule de Lie ouvert $G'$ de G et un morphisme $\varphi$ de $G'$ dans H tels que $f = L(\varphi)$.

(ii) Soient $G_1, G_2$ des sous-groupuscules de Lie ouverts de G, et $\varphi_i$ un morphisme de $G_i$ dans H tel que $f = L(\varphi_i)$ pour $i = 1, 2$. Alors $\varphi_1$ et $\varphi_2$ coïncident dans un voisinage de e.

Soient $p_1 : G \times H \to G$, $p_2 : G \times H \to H$ les projections canoniques. Pour tout $(g, h) \in G \times H$, soit $f_{g,h}$ l’application $ga \mapsto hf(a)$ de $T_g(G) = gL(G)$ dans $T_h(H) = hL(H)$. En considérant les trivialisations gauches de T(G) et T(H), on voit aussitôt que les $f_{g,h}$ définissent un morphisme de $p_1^*T(G)$ dans $p_2^*T(H)$. Soit a le graphe de f; c’est une sous-algèbre de Lie fermée de $L(G) \times L(H)$ qui admet $\{0\} \times L(H)$ comme supplémentaire topologique. Pour tout $(g, h) \in G \times H$, le graphe de $f_{g,h}$ est $(g, h) . a$. La réunion de ces graphes est un sous-fibré vectoriel intégrable de $T(G \times H)$ (lemme 1). Il existe alors (VAR, R, 9.3.7) un voisinage ouvert U de $e_G$ dans G et une application analytique $\varphi$ de U dans H telle que $\varphi(e_G) = e_H$ et $T_g(\varphi) = f_{g,\varphi(g)}$ pour tout $g \in U$. En particulier, $T_{e_G}(\varphi) = f$.

Soit V un voisinage ouvert de $e_G$ dans G tel que, pour $(s, t) \in V \times V$, les produits st et $\varphi(s)\varphi(t)$ soient définis, et $st \in U$. Considérons les applications $\alpha_1, \alpha_2$ de $V \times V$ dans H définies par

On a $\alpha_1(t, e) = \varphi(t) = \alpha_2(t, e)$. D’autre part, fixons t dans V, et soit $\beta_i$ l’application $s \mapsto \alpha_i(s, t)$ de V dans H. On a, pour tout $s \in V$ et tout $a \in L(G)$,

Donc (VAR, R, 9.3.7) $\alpha_1$ et $\alpha_2$ coïncident dans un voisinage de $(e_G, e_G)$. La restriction de $\varphi$ à un voisinage ouvert symétrique assez petit de $e_G$ est donc un morphisme de groupuscules de Lie, d’où (i).

Soient $G_1, G_2, \varphi_1, \varphi_2$ comme dans (ii), et prouvons que $\varphi_1, \varphi_2$ coïncident dans un voisinage de $e_G$. Il existe un voisinage ouvert $W$ de $e_G$ tel que $\varphi_1(ts) = \varphi_1(t)\varphi_1(s)$, $\varphi_2(ts) = \varphi_2(t)\varphi_2(s)$ quels que soient $s, t$ dans $W$. Alors, si $s \in W$ et $a \in L(G)$, on a

pour $i = 1, 2$. Comme $\varphi_1(e_G) = e_H = \varphi_2(e_G)$, on conclut de VAR, R, 9.3.7, que $\varphi_1$ et $\varphi_2$ coïncident dans un voisinage de $e_G$.

On dit que G est le groupuscule de Lie défini par L.

Supposons K ultramétrique. Soit p la caractéristique du corps résiduel de K. Si $p \neq 0$, posons $\lambda = |p|^{1/(p-1)}$; si $p = 0$, posons $\lambda = 1$.

(i) Muni de la loi de composition H, G est un groupe de Lie dans lequel O est élément neutre, et $-x$ inverse de x pour tout $x \in G$.

(ii) Soit $\varphi$ l’application identique de G dans L. La différentielle de $\varphi$ en O est un isomorphisme de l’algèbre de Lie normable $L(G)$ sur L.

(iii) Pour tout $\mu \in \mathbf{R}_+^*$, soit $G_\mu$ l’ensemble des $x \in L$ tels que $\|x\| < \mu$. Alors les $G_\mu$, pour $\mu < \lambda$, forment un système fondamental de voisinages ouverts et fermés de O, et sont des sous-groupes de G.

Les assertions (i) et (iii) résultent du chap. II, § 8, n° 3, prop. 3, et (ii) se démontre comme dans le lemme 2.

On dit que G est le groupe de Lie défini par L.

La première assertion résulte des lemmes 2 et 3. La deuxième assertion résulte du cor. 1 du th. 1, n° 1.

Posons $L(G) = L$. Choisissons une norme sur L définissant la topologie de L et telle que $\| [x, y] \| \leq \|x\| \|y\|$ quels que soient $x, y$ dans L.

Supposons K = $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$. Soit G' le groupuscule de Lie défini par L. Il existe une boule ouverte U' de centre 0 dans G', et un isomorphisme $\varphi$ du groupuscule de Lie U' sur un voisinage ouvert U de e dans G. Soient $V' = \frac{1}{2}U'$, $V = \varphi(V')$, H un sous-groupe de G contenu dans V, et $h \in H$. Posons $x = \varphi^{-1}(h) \in V'$. Si $x \neq 0$, il existe un entier $n > 0$ tel que $x, 2x, \ldots, nx$ sont dans $V'$, $(n+1)x \in U'$, $(n+1)x \notin V'$. Alors $h, h^2, \ldots, h^n$ sont dans V, $h^{n+1} \in U$, $h^{n+1} \notin V$, ce qui est absurde. Donc $H = \{e\}$.

Supposons K ultramétrique. Il suffit de prouver le corollaire quand G est le groupe de Lie associé à L. Si $g \in G$, les puissances de g calculées dans G sont les éléments de $\mathbf{Z}g$ calculés dans L. Ceux-ci sont deux à deux distincts si $g \neq e$. Donc G ne contient aucun sous-groupe fini distinct de $\{e\}$.

Il existe un groupuscule de Lie G₁ sur K tel que L(G₁) = L' (th. 2). D’après le cor. 1 du th. 1, n° 1, G et G₁, considérés comme k-groupuscules de Lie, sont localement isomorphes. Donc il existe un voisinage ouvert G' de e dans G et une structure de K-groupuscule de Lie sur G', d’algèbre de Lie L, compatible avec la structure de groupuscule de Lie sur k. Soit V un voisinage ouvert symétrique de e dans G tel que V² ⊂ G'. Soit g ∈ G. Alors φ = Int g est un k-isomorphisme d’un sous-groupuscule de Lie ouvert assez petit de G' sur un sous-groupuscule de Lie ouvert de G'; et Tₑ(φ) est K-linéaire, donc Tₓ(φ) est K-linéaire pour x assez voisin de e; par suite la restriction de Int g à un voisinage ouvert assez petit de e dans V est K-analytique (VAR, R, 5.14.6). D’après le § 1, n° 9, prop. 18, il existe sur G une structure de K-variété analytique pour laquelle G est un K-groupe de Lie et V une sous-K-variété ouverte de G. Par translation, on voit que la structure de k-variété sous-jacente de G est la structure donnée. L’algèbre de Lie du K-groupe de Lie G est la même que celle du K-sous-groupuscule de Lie ouvert V, donc est L'. Enfin, l’unicité annoncée dans le corollaire résulte du § 3, n° 8, prop. 32.

Il existe un groupuscule de Lie H' d’algèbre de Lie isomorphe à h (th. 2). Diminuant au besoin H', on peut supposer qu’il existe un morphisme φ de H' dans G tel que L(φ) soit un isomorphisme de L(H') sur h (n° 1, th. 1). Comme h admet un supplémentaire topologique, φ est une immersion en e. Donc, en diminuant encore H', on peut supposer que φ est un isomorphisme de la variété H' sur une sous-variété de G. Ceci prouve l’existence de H. La deuxième assertion résulte de la proposition suivante:

Si H ∩ H' est ouvert dans H', on a L(H') = L(H ∩ H') ⊂ L(H). Supposons L(H) ⊃ L(H'). Soient i, i' les injections canoniques de H, H' dans G. En diminuant au besoin H', on peut supposer qu’il existe un morphisme ψ de H' dans H tel que L(ψ) soit l’injection canonique de L(H') dans L(H) (n° 1, th. 1).

Alors $L(i \circ \psi) = L(i')$, donc il existe un voisinage $V$ de $e_{H'}$ dans $H'$ tel que $i \circ \psi$ et $i'$ coïncident dans $V$ (th. 1). Par suite, $V \subset H$, donc $V \subset H \cap H'$, et $H \cap H'$ est ouvert dans $H'$ (§ 1, no 10).

Il existe un sous-groupuscule de Lie $H'$ du K-groupe de Lie G tel que $L(H') = L(H)$ (th. 3). Considérons G, H, H' comme des k-groupuscules de Lie ; le th. 3 prouve alors que $H \cap H'$ est ouvert dans H et $H'$. Donc il existe un voisinage ouvert U de $e$ dans G tel que $U \cap H$ soit une sous-variété de G sur K. Par suite, H est un sous-groupe de Lie du K-groupe de Lie G (§ 1, no 3, prop. 6).

(i) Quel que soit $b \in L$, on a $\varphi((\lambda + \lambda')b) = \varphi(\lambda b)\varphi(\lambda'b)$ pour $|\lambda|$ et $|\lambda'|$ assez petits.

(ii) Quel que soit $b \in L$ et l’entier $n > 0$, $\varphi_*(b^n)$ est homogène de degré $n$ dans $U(G)$ (on identifie $T_0^{(\infty)}(L)$ à $TS(L)$, et $b^n$ est calculé dans $TS(L)$).

(iii) L’application $\varphi_*$ de $TS(L)$ dans $U(G)$ est compatible avec les graduations de $TS(L)$ et $U(G)$.

(iv) L’application $\varphi_*$ de $TS(L)$ dans $U(G)$ est l’application canonique de $TS(L)$ dans l’algèbre enveloppante de $L$.

(v) Il existe une norme sur $L$ définissant la topologie de $L$ et telle que

quels que soient $x, y$ dans $L$, et un sous-groupuscule ouvert $W \subset V$ du groupuscule de Lie défini par $L$ (no 2), tels que $\varphi | W$ soit un isomorphisme de $W$ sur un sous-groupuscule de Lie ouvert de $G$.

(v) $\Rightarrow$ (i) : évident, car on a $(\lambda b)(\lambda'b) = (\lambda + \lambda')b$ dans $W$ pour $|\lambda|$ et $|\lambda'|$ assez petits.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : supposons vérifiée la condition (i). Soit $b \in L$. Soit $\psi$ la restriction de $\varphi$ à $V \cap Kb$. Par hypothèse, il existe un voisinage symétrique $T$ de 0 dans le groupe de Lie additif $Kb$ tel que $\psi|T$ soit un morphisme du groupuscule de Lie $T$ dans $G$. Donc $\varphi_*(b^n) = (\psi|T)_*(b^n) = ((\psi|T)_*(b))^n = (\varphi_*(b))^n$, de sorte que $\varphi_*(b^n)$ est homogène de degré $n$ dans $U(G)$.

(ii) ⇒ (iii): cela résulte du fait que TS^n(L) est le sous-espace vectoriel de TS(L) engendré par les puissances n-èmes des éléments de L (A, IV, , prop. 5, n^{elle} édition)

(iii) ⇒ (iv): l’application canonique de TS(L) dans l’algèbre enveloppante de L est l’unique morphisme de cogèbres graduées transformant 1 en 1 et prolongeant Id_L (chap. II, § 1, n° 5, Remarque 3). Or φ_* est un morphisme de cogèbres, et φ_*|L = Id_L par hypothèse. Si la condition (iii) est vérifiée, on voit que la condition (iv) l’est aussi.

(iv) ⇒ (v): supposons vérifiée la condition (iv). Choisissons une norme sur L définissant la topologie de L et telle que \| [x, y] \| ≤ \| x \| \| y \| quels que soient x, y dans L. Soit H le groupuscule de Lie défini par l’algèbre de Lie normée L. D’après le th. 1, il existe un sous-groupuscule ouvert S ⊂ V de H et un isomorphisme φ’ de S sur un sous-groupuscule ouvert de G. Comme on sait déjà que (v) ⇒ (iv), l’application φ’_* de TS(L) dans U(G) est l’application canonique de TS(L) dans l’algèbre enveloppante de L. Ainsi, φ_*(t) = φ’_*(t) pour tout t ∈ T_0^{(∞)}(L). Comme φ et φ’ sont analytiques, φ et φ’ coïncident dans un voisinage de 0.

Soit kᵢ l’injection canonique de Lᵢ dans L₁ × L₂ × ... × Lₙ. On a, pour tout b ∈ Lᵢ, $(T_{(0,...,0)}\theta)((T_0k_i)(b)) = (T_0\varphi)(b) = b$, donc $(T_{(0,...,0)}\theta)|L_i$ est l’injection canonique de Lᵢ dans L.

En particulier, θ est étale en (0, 0, ..., 0). Sa restriction à un voisinage ouvert assez petit U de (0, 0, ..., 0) a une image ouverte dans G, et est un isomorphisme de la variété U sur la variété θ(U). L’application réciproque η de θ(U) sur U s’appelle une carte canonique de deuxième espèce de G, associée à la décomposition donnée de L en somme directe. Si de plus G est de dimension finie et si chaque Lᵢ est engendré par un vecteur non nul eᵢ, le système de coordonnées dans θ(U) défini par η et les eᵢ s’appelle un système de coordonnées canoniques de deuxième espèce.

(1)

(2)

(on notera que $\varphi^{-1}(\varphi(\lambda x)\varphi(\lambda y))$ et $\varphi^{-1}(\varphi(\lambda x)\varphi(\lambda y)\varphi(-\lambda x)\varphi(-\lambda y))$ sont définis pour $|\lambda|$ assez petit).

Munissions L = L(G) d’une norme définissant la topologie de L et telle que $\| [x, y] \| \leq \|x\| \|y\|$ quels que soient x, y dans L. Compte tenu des th. 2 et 4, on peut supposer que G est le groupuscule de Lie défini par L et que $\varphi = \mathrm{Id}_G$. Notons $(x, y) \mapsto x.y$ le produit dans le groupe G. Les formules à démontrer s’écrivent alors

(3)

(4)

Il existe un voisinage ouvert V de 0 dans K tel que la fonction

soit définie et analytique dans V. D’après le chap. II, § 6, n° 4, Remarque 2, le développement en série entière à l’origine de f est et cela prouve (3). D’autre part, pour u, v dans G et \|u\|, \|v\| assez petits, u . v est une fonction analytique de (u, v) et les termes de degrés 1 et 2 dans le développement en série entière à l’origine de cette fonction sont $u + v + \frac{1}{2}[u, v]$. D’après VAR, R, 3.2.7 et 4.2.3, les termes de degrés 1 et 2 dans le développement en série entière à l’origine de la fonction $f(\lambda) . f(-\lambda)$ sont les termes de degrés 1 et 2 dans ou encore dans et cela prouve (4).

En effet, φ vérifie l’hypothèse (i) du th. 4 relativement à G', donc est une application exponentielle de G'.

Munissons L d’une norme compatible avec sa topologie et telle que $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ quels que soient $x, y \in L$. Il suffit d’envisager le cas où G est le groupuscule de Lie défini par L, et où $\varphi = \operatorname{Id}_G$. Par définition, $\omega(x)$ est alors l’application tangente en x à l’application $y \mapsto y . x^{-1}$ de G dans G. Si on note H(X, Y) la série de Hausdorff, $\omega(x)$ est donc, pour $\| x \|$ assez petit, l’application tangente en 0 à l’application $y \mapsto H(x + y, -x)$ de G dans G. Dans H(X + Y, −X), la somme des termes du premier degré en Y est

(chap. II, § 6, n° 5, prop. 5). La proposition résulte alors de VAR, R, 3.2.4 et 4.2.3.

Soient G un groupuscule de Lie, et $t \in K$. On appelle application puissance t-ème de G toute application, définie et analytique dans un voisinage ouvert de $e$, à valeurs dans G, et coïncidant dans un voisinage de $e$ avec une application

où $\varphi$ est une application exponentielle injective de G.

(ii) L’application tangente en $e$ à une application puissance t-ème est l’homothétie de rapport $t$.

(iii) Si $h$ est une application puissance t-ème et $h'$ une application puissance t'-ème de G, $h \circ h'$ est une application puissance $(tt')$-ème, et $g \mapsto h(g)h'(g)$ est une application puissance $(t + t')$-ème.

(iv) Si $h$ est une application puissance t-ème, et si $u \in U^n(G)$, on a $h_*(u) = t^n u$.

Il suffit de prouver la proposition quand G est le groupuscule de Lie défini par une algèbre de Lie normée complète, et quand les applications puissance t-ème considérées sont construites à l’aide de l’application exponentielle $\varphi = \mathrm{Id}_G$. Mais alors tout est évident.

Munissons L(G) et L(H) de normes définissant leurs topologies et telles que $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ quels que soient $x$ et $y$. On peut supposer que G (resp. H) est le groupuscule de Lie défini par L(G) (resp. L(H)), de sorte que $\varphi_G$ (resp. $\varphi_H$) coïncide avec $\mathrm{Id}_G$ (resp. $\mathrm{Id}_H$) au voisinage de 0. D’autre part, il existe un voisinage ouvert symétrique W de 0 dans L(G) tel que L(h) soit un morphisme du groupuscule de Lie W dans H. D’après le th. 1, L(h) coïncide avec $h$ dans un voisinage de 0, d’où la proposition.

En termes imagés, si l’on identifie G et H au voisinage de l’élément neutre à L(G) et L(H) grâce à des applications exponentielles, tout morphisme de G dans H est linéaire au voisinage de 0.

(i) Il existe un voisinage ouvert V de 0 dans L(G') tel que $\varphi|V$ soit un isomorphisme de la variété V sur un voisinage ouvert de e dans G'.

(ii) Soit $x \in L(G)$. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) $x \in L(G')$; b) $\varphi(\lambda x) \in G'$ pour $|\lambda|$ assez petit. (i) s’obtient en appliquant la prop. 8 à l’injection canonique de $G'$ dans $G$, et (ii) résulte de (i).

Soient $a_1, a_2$ dans $\mathfrak{h}$. Soient $I$ un voisinage ouvert de $0$ dans $K$, et $f_1, f_2$ des applications de classe $C^r$ de $I$ dans $G$ telles que $f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (T_0 f_j)(1) = a_j$ ($j = 1, 2$). Définissons $f : I \to G$ par $f(\lambda) = f_1(\lambda) f_2(\lambda)$. Alors $f$ est de classe $C^r$ et $f(0) = e$. En diminuant au besoin $I$, on a $f(I) \subset H$. D’autre part, l’application de $T_e(G) \times T_e(G)$ dans $T_e(G)$ tangente à l’application $(g, g') \mapsto gg'$ est l’addition; donc $(T_0 f)1 = a_1 + a_2$. Donc $a_1 + a_2 \in \mathfrak{h}$, et $\mathfrak{h}$ est un sous-espace vectoriel de $L(G)$. Puisque $x h x^{-1} = h$ pour tout $x \in H$, on a $(\mathrm{Ad} f_1(\lambda)) . a_2 \in \mathfrak{h}$ pour tout $\lambda \in I$. L’application tangente en $0$ à l’application $\lambda \mapsto \mathrm{Ad} f_1(\lambda)$ est, d’après la prop. 44 du , n° 12, l’application $\lambda \mapsto \mathrm{ad}(\lambda a_1)$; donc $[a_1, a_2] = (\mathrm{ad} a_1) . a_2 \in \mathfrak{h}$ puisque $\mathfrak{h}$ est fermé dans $L(G)$. On a donc prouvé (i). Dans la fin de la démonstration, nous fixons un sous-groupuscule de Lie $H'$ de $G$ d’algèbre de Lie $\mathfrak{h}$

Soient $V, v_0, f$ comme dans (iii). Soit $Y$ le feuilletage gauche de $G$ associé à $\mathfrak{h}$ (n° 1). Pour tout $y \in H'$, on a $T_y(H') = y \mathfrak{h}$. D’autre part, pour tout $v \in V$, l’image de $T_v(V)$ par $T_v(f)$ est contenue dans $\mathfrak{h}_{f(v)} = f(v) \mathfrak{h}$ (par définition de $\mathfrak{h}_{f(v)}$). D’après VAR, R, 9.3.2, $f$ est un morphisme de $V$ dans $Y$. Comme $H'$ est une feuille de $Y$ (VAR, R, 9.2.8), on a $f(v) \in H'$ pour $v$ assez voisin de $v_0$.

Soit $(a_1, \ldots, a_s)$ une base de $\mathfrak{h}$. Il existe un voisinage ouvert $I$ de $0$ dans $K$, et des applications $f_1, \ldots, f_s$ de classe $C^r$ de $I$ dans $G$, telles que $f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (Tf_j)1 = a_j$ pour tout $j$. D’après (iii), on a $f_j(\lambda) \in H'$ pour $|\lambda|$ assez petit. Donc les $f_1(\lambda_1) f_2(\lambda_2) \ldots f_s(\lambda_s)$ constituent, pour $|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_s|$ assez petits, un voisinage de $e$ dans $H'$; et ce voisinage est contenu dans $H$. D’où (iv).

Si $a \in \mathfrak{h}$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $0$ dans $K$ et une application de classe $C^\omega$ de $I$ dans $G$ tels que $f(0) = e, f(I) \subset H', (T_0 f)1 = a$. Cela, avec (iv), entraîne (v).

(i) Il existe sur $H$ une structure de variété analytique et une seule ayant la propriété suivante: pour tout $r$ compris entre $1$ et $\omega$, pour toute variété $V$ de classe $C^r$, et pour toute application $f$ de $V$ dans $H$, $f$ est de classe $C^r$ comme application de $V$ dans $H$ si et seulement si $f$ est de classe $C^r$ comme application de $V$ dans $G$.

(ii) Pour cette structure, $H$ est un groupe de Lie, l’injection canonique $i$ de $H$ dans $G$ est une immersion, et $L(i)(L(H))$ est la sous-algèbre de Lie tangente en $e$ à $H$.

Dans (i), l’unicité est évidente. Prouvons l’existence. Soit $\mathfrak{h}$ l’algèbre de Lie tangente en $e$ à $H$. Soit $H'$ un sous-groupuscule de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathfrak{h}$. En remplaçant $H'$ par un sous-groupuscule ouvert de $H'$, on peut supposer $H' \subset H$ (lemme 4 (iv)). Pour tout $x \in H$, $x H' x^{-1}$ est un sous-groupuscule de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $x h x^{-1} = h$. Donc $H' \cap (x H' x^{-1})$ est ouvert dans $H'$ (n° 2, th. 3), et l’application $y \mapsto xy x^{-1}$ est un isomorphisme de $H' \cap x^{-1} H' x$ sur $x H' x^{-1} \cap H'$. Compte tenu de la prop. 18 du § 1, n° 9, il existe un sous-groupuscule de Lie ouvert W de H', et une structure de groupe de Lie sur H, possédant les propriétés suivantes : W est ouvert dans H, et les structures de variétés de H et H' induisent la même structure sur W. Il résulte de là que l’injection canonique i de H dans G est une immersion, et que L(i)(L(H)) = L(H') = $\mathfrak{g}$. En outre, soient V et f comme dans (i). Si f : V → H est de classe C^r, i ∘ f : V → G est de classe C^r. Supposons que i ∘ f : V → G soit de classe C^r, et prouvons que f : V → H est de classe C^r. Par translation, il suffit d’envisager le cas où il existe un v_0 ∈ V tel que f(v_0) = e, et de prouver que f : V → H est de classe C^r dans un voisinage ouvert de v_0. Or, d’après le lemme 4 (iii), on a f(v) ∈ H' pour v assez voisin de v_0, d’où notre assertion. On a ainsi prouvé (i), et (ii) a été obtenu en cours de route.

Soient θ et θ' les applications de F ⊕ F' dans lui-même définies de la manière suivante : si $(u, v) \in F_x \oplus F'_x$, on a

D’après VAR, R, 7.7.1, θ et θ' sont des morphismes du fibré vectoriel F ⊕ F' dans lui-même. Il est clair que $\theta \circ \theta' = \theta' \circ \theta = \mathrm{Id}_{F \oplus F'}$. Donc θ et θ' sont des automorphismes de F ⊕ F'. Par suite, S = θ(F ⊕ {0}) est un sous-fibré vectoriel de F ⊕ F'.

(i) Les éléments de $T(M \times G)$ en lesquels s’annule la forme différentielle

constituent un sous-fibré vectoriel $S$ de classe $C^{r-1}$ de $T(M \times G)$.

(ii) Pour tout $(x, g) \in M \times G$, $T(\mathrm{pr}_1)|_{S_{(x,g)}}$ est un isomorphisme de $S_{(x,g)}$ sur $T_x(M)$.

(iii) Si $d\alpha + [\alpha]^2 = 0$ (cf. § 3, n° 14) le sous-fibré vectoriel $S$ est intégrable. Si $(x, g) \in M \times G$ et $(u, v) \in T_x(M) \times T_g(G)$, on a

Donc le noyau de $\theta_{(x,g)}$ est l’ensemble $S_{(x,g)}$ des $(u, g\alpha(u))$ pour $u \in T_x(M)$, d’où (ii). Considérons $T(M \times G)$ comme la somme directe de deux fibrés vectoriels $F$ et $F'$ avec $F_{(x,g)} = T_x(M) \times \{0\}$ et $F'_{(x,g)} = \{0\} \times T_g(G)$ pour tout Pour $u \in T_x(M) \times \{0\}$, posons $\varphi(u) = (0, g\alpha(u))$. En utilisant la trivialisation gauche de $T(G)$, on voit que $\varphi$ est un morphisme de $F$ dans $F'$, d’où (i) (lemme 5). Enfin, si $d\alpha + [\alpha]^2 = 0$, on a donc $S$ est intégrable (VAR, R, 9.3.6).