Bằng cách xét phép tầm thường hóa trái của $T(G)$ (§ 2, no. 3), ta thấy ngay lập tức rằng các $g\mathfrak{h}$, với $g \in G$, là các thớ của một phân bó vectơ con E của $T(G)$. Cho $g \in G$. Tập hợp các $(L_a)_g$, trong đó $a \in \mathfrak{h}$, bằng $g\mathfrak{h}$. Bây giờ, nếu $a$ và $b$ thuộc $\mathfrak{h}$, thì $[L_a, L_b] = L_{[a, b]}$ và $[a, b] \in \mathfrak{h}$. Do đó E là khả tích (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.3 (iv)). Lập luận tương tự đối với các $\mathfrak{h}g$.

Phân lá nguyên (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.2) của hợp các $g\mathfrak{h}$ (tương ứng $\mathfrak{h}g$) được gọi là phân lá trái (tương ứng phải) của G liên kết với $\mathfrak{h}$.

Cho $p_1 : G \times H \to G, p_2 : G \times H \to H$ là các phép chiếu chính tắc. Với mọi $(g, h) \in G \times H$, ký hiệu $f_{g, h}$ là ánh xạ $ga \mapsto hf(a)$ của $T_g(G) = gL(G)$ vào $T_h(H) = hL(H)$. Xét các phép tầm thường hóa trái của $T(G)$ và $T(H)$, ta thấy ngay rằng các $f_{g, h}$ định nghĩa một cấu xạ từ $p_1^*T(G)$ vào* $p_2^*T(H)$. Gọi $a$ là đồ thị của $f$; đó là một đại số con Lie đóng của $L(G) \times L(H)$ và nhận $\{0\} \times L(H)$ làm phần bù tôpô. Với mọi $(g, h) \in G \times H$, đồ thị của $f_{g,h}$ là $(g, h) \cdot a$. Hợp của các đồ thị này là một phân thớ con vectơ khả tích của $T(G \times H)$ (Bổ đề 1). Khi đó tồn tại (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.7) một lân cận mở $U$ của $e_G$ trong $G$ và một ánh xạ giải tích $\phi$ từ $U$ vào $H$ sao cho $\phi(e_G) = e_H$ và $T_g(\phi) = f_{g, \phi(g)}$ với mọi $g \in U$. Đặc biệt, $T_{e_G}(\phi) = f$.

Cho $V$ là một lân cận mở của $e_G$ trong $G$ sao cho, với $(s, t) \in V \times V$, các tích $st$ và $\phi(s)\phi(t)$ được xác định và $st \in U$. Xét các ánh xạ $\alpha_1, \alpha_2$ từ $V \times V$ vào $H$ được định nghĩa bởi

Sau đó $\alpha_1(t, e) = \phi(t) = \alpha_2(t, e)$. Mặt khác, cố định $t$ trong $V$ và gọi $\beta_i$ là ánh xạ $s \mapsto \alpha_i(s, t)$ của $V$ vào $H$. Khi đó, với mọi $s \in V$ và mọi $a \in L(G)$,

Do đó (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.7) $\alpha_1$ và $\alpha_2$ trùng nhau trên một lân cận của $(e_G, e_G)$. Hạn chế của $\phi$ lên một lân cận mở đối xứng đủ nhỏ của $e_G$ vì thế là một cấu xạ của các mầm nhóm Lie, do đó (i).

Cho $G_1, G_2, \phi_1, \phi_2$ như trong (ii) và ta chứng minh rằng $\phi_1, \phi_2$ trùng nhau trên một lân cận của $e_G$. Tồn tại một lân cận mở $W$ của $e_G$ sao cho $\phi_1(ts) = \phi_1(t)\phi_1(s)$, $\phi_2(ts) = \phi_2(t)\phi_2(s)$ với mọi $s, t$ trong $W$. Khi đó, nếu $s \in W$ và $a \in L(G)$,

với $i = 1, 2$. Vì $\phi_1(e_G) = e_H = \phi_2(e_G)$, suy ra từ Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.7 rằng $\phi_1$ và $\phi_2$ trùng nhau trên một lân cận của $e_G$.

Điều này suy ra từ Định lý 1 và § 1, no. 10, Mệnh đề 21.

Đại số Lie của nhóm cộng $L(G)$ đẳng cấu với $L(G)$. Do đó chỉ cần áp dụng Hệ quả 1.

Tồn tại một mầm nhóm con Lie mở U của G giao hoán (Hệ quả 2). Cho V là một lân cận của e sao cho V^2 ⊂ U. Khi đó xy = yx với mọi x, y trong V. Do đó nhóm con của G sinh bởi V là giao hoán; hiển nhiên nó là mở.

G được gọi là mầm nhóm Lie xác định bởi L.

Giả sử K là ultramêtric. Cho $p$ là đặc số của trường thặng dư của K. Nếu $p \neq 0$, cho $\lambda = |p|^{1/(p-1)}$; nếu $p = 0$, cho $\lambda = 1$.

G được gọi là nhóm Lie xác định bởi L.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ các Bổ đề 2 và 3. Mệnh đề thứ hai suy ra từ Hệ quả 1 của Định lý 1 của no. 1.

Ta viết L(G) = L. Chọn một chuẩn trên L xác định tôpô trên L và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ với mọi x, y trong L.

Giả sử K = R hoặc C. Cho G' là mầm nhóm Lie được xác định bởi L. Tồn tại một quả cầu mở U' có tâm 0 trong G' và một đẳng cấu $\phi$ của mầm nhóm Lie U' lên một lân cận mở U của e trong G. Cho V' = $\frac{1}{2} U'$, $V = \phi(V')$, H là một nhóm con của G được chứa trong V và $h \in H$. Cho $x = \phi^{-1}(h) \in V'$. Nếu $x \neq 0$, tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $x, 2x, \ldots, nx$ thuộc V', $(n+1)x \in U'$, $(n+1)x \notin V'$. Khi đó $h, h^2, \ldots, h^n$ thuộc V,

là điều vô lý. Do đó H = {e}.

Giả sử K là ultramêtric. Chỉ cần chứng minh hệ quả khi G là nhóm Lie liên kết với L. Nếu $g \in G$, các lũy thừa của g được tính trong G là các phần tử của $\mathbf{Z}g$ được tính trong L. Các phần tử này phân biệt nếu $g \neq e$. Do đó G không chứa nhóm con hữu hạn nào phân biệt với {e}.

Tồn tại một mầm nhóm Lie $G_1$ trên K sao cho $L(G_1) = L'$ (Định lý 2). Theo Hệ quả 1 của Định lý 1 ở no. 1, G và $G_1$, được xem như các mầm nhóm Lie-k, là đẳng cấu địa phương. Do đó tồn tại một lân cận mở G' của e trong G và một cấu trúc mầm nhóm Lie-K trên G', với đại số Lie L, tương thích với cấu trúc mầm nhóm Lie trên k. Gọi V là một lân cận mở đối xứng của e trong G sao cho $V^2 \subset G'$. Cho $g \in G$. Khi đó $\phi = \operatorname{Int} g$ là một đẳng cấu-k của một mầm nhóm con Lie mở đủ nhỏ của G' lên một mầm nhóm con Lie mở của G'; và $T_e(\phi)$ là K-tuyến tính, do đó $T_x(\phi)$ là K-tuyến tính với x đủ gần e; vì vậy hạn chế của Int g vào một lân cận mở đủ nhỏ của e trong V là K-giải tích (Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.14.6). Theo § 1, no. 9, Mệnh đề 18, tồn tại trên G một cấu trúc đa tạp K-giải tích sao cho G là một

nhóm K-Lie và V là một đa tạp con-K mở của G. Bằng phép tịnh tiến, thấy rằng cấu trúc đa tạp-k cơ sở của G là cấu trúc đã cho. Đại số Lie của nhóm Lie-K G là cùng một đại số với đại số của mầm nhóm con Lie-K mở V và do đó là L'. Cuối cùng, tính duy nhất được nêu trong hệ quả suy ra từ § 3, no. 8, Mệnh đề 32.

Tồn tại một mầm nhóm Lie $H'$ có đại số Lie đẳng cấu với $\mathfrak{h}$ (Định lý 2). Nếu cần thiết thu nhỏ $H'$, có thể giả sử rằng tồn tại một cấu xạ $\phi$ từ $H'$ vào G sao cho $L(\phi)$ là một đẳng cấu của $L(H')$ lên $\mathfrak{h}$ (no. 1, Định lý 1). Vì $\mathfrak{h}$ thừa nhận một phần bù tôpô, $\phi$ là một phép nhúng tại e. Do đó, nếu thu nhỏ thêm $H'$, có thể giả sử rằng $\phi$ là một đẳng cấu của đa tạp $H'$ lên một đa tạp con của G. Điều này chứng minh sự tồn tại của H. Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề sau:

Nếu $H \cap H'$ là mở trong $H'$, thì $L(H') = L(H \cap H') \subset L(H)$. Giả sử rằng $L(H) \supset L(H')$. Gọi i, $i'$ là các đơn ánh chính tắc của H, $H'$ vào G. Bằng cách thu nhỏ $H'$ nếu cần thiết, có thể giả sử rằng tồn tại một cấu xạ $\psi$ từ $H'$ vào H sao cho $L(\psi)$ là đơn ánh chính tắc của $L(H')$ vào $L(H)$ (no. 1, Định lý 1). Khi đó $L(i \circ \psi) = L(i')$ và do đó tồn tại một lân cận V của $e_{H'}$ trong $H'$ sao cho $i \circ \psi$ và $i'$ trùng nhau trên V (Định lý 1). Vì vậy $V \subset H$, do đó $V \subset H \cap H'$ và $H \cap H'$ là mở trong $H'$ (§ 1, no. 10).

Tồn tại một mầm nhóm con Lie $H'$ của nhóm Lie K G sao cho $L(H') = L(H)$ (Định lý 3). Xét G, H, $H'$ như các mầm nhóm Lie k; khi đó Định lý 3 chứng minh rằng $H \cap H'$ là mở trong H và $H'$. Do đó tồn tại một lân cận mở U của e trong G sao cho $U \cap H$ là một đa tạp con của G trên K. Vì vậy, H là một nhóm con Lie của nhóm Lie K G (§ 1, no. 3, Mệnh đề 6).

(v) ⇒ (i): hiển nhiên, vì (λb).(λ'b) = (λ + λ')b trong W với |λ| và |λ'| đủ nhỏ. (i) ⇒ (ii): giả sử rằng điều kiện (i) được thỏa mãn. Cho b ∈ L. Gọi ψ là hạn chế của φ vào V ∩ Kb. Theo giả thiết, tồn tại một lân cận đối xứng T của 0 trong nhóm Lie cộng tính Kb sao cho ψ|T là một cấu xạ của mầm nhóm Lie T vào G. Do đó

suy ra φ_*(b^n) là thuần nhất bậc n trong U(G). (ii) ⇒ (iii): điều này suy ra từ sự kiện rằng TS^n(L) là không gian con vectơ của TS(L) sinh bởi các lũy thừa bậc n của các phần tử của L (Đại số, Chương IV, § 5, Mệnh đề 5). (iii) ⇒ (iv): ánh xạ chính tắc của TS(L) vào đại số bao của L là cấu xạ duy nhất của các đối đại số phân bậc biến 1 thành 1 và mở rộng Id_L (Chương II, § 1, no. 5, Nhận xét 3). Bây giờ φ_* là một cấu xạ đối đại số và φ_*|L = Id_L theo giả thiết. Nếu điều kiện (iii) đúng, ta thấy rằng điều kiện (iv) cũng đúng. (iv) ⇒ (v): giả sử rằng điều kiện (iv) được thỏa mãn. Chọn một chuẩn trên L xác định tôpô của L và sao cho \|[x, y]\| \leq \|x\|\|y\| với mọi x, y trong L. Gọi H là mầm nhóm Lie được xác định bởi đại số Lie chuẩn hóa L. Theo Định lý 1, tồn tại một mầm nhóm con mở S ⊂ V của H và một đẳng cấu φ' của S lên một mầm nhóm con mở của G. Như ta đã biết rằng (v) ⇒ (iv), ánh xạ φ_* của TS(L) vào U(G) là ánh xạ chính tắc của TS(L) vào đại số bao của L. Do đó φ_*(t) = φ'_*(t) với mọi t ∈ T_0^{(∞)}(L). Vì φ và φ' là giải tích, φ và φ' trùng nhau trên một lân cận của 0.

được xác định trên một tập con mở của $L_1 \times L_2 \times \cdots \times L_n$, là giải tích. Ánh xạ tiếp tuyến tại $(0, 0, \ldots, 0)$ của $\theta$ là ánh xạ chính tắc của $L_1 \times \cdots \times L_n$ vào L.

Cho $k_i$ là đơn ánh chính tắc của $L_i$ vào $L_1 \times L_2 \times \cdots \times L_n$. Khi đó, với mọi $b \in L_i$, $(T_{(0, \ldots, 0)}\theta)(T_0k_i)(b) = (T_0\phi)(b) = b$ và do đó $(T_{(0, \ldots, 0)}\theta)|L_i$ là đơn ánh chính tắc của $L_i$ vào L.

Đặc biệt, $\theta$ là étale tại $(0, 0, \ldots, 0)$. Hạn chế của nó lên một

NHÓM LIE

lân cận mở đủ nhỏ U của $(0, 0, \ldots, 0)$ có ảnh mở trong G và là một đẳng cấu của đa tạp U lên đa tạp $\theta(U)$. Ánh xạ nghịch đảo $\eta$ của $\theta(U)$ lên U được gọi là một biểu đồ chính tắc của loài thứ hai của G, liên kết với phân tích đã cho của L thành một tổng trực tiếp. Nếu thêm nữa G là hữu hạn chiều và mỗi $L_i$ được sinh bởi một vectơ khác không $e_i$, hệ tọa độ trên $\theta(U)$ được xác định bởi $\eta$ và các $e_i$ được gọi là một hệ tọa độ chính tắc của loài thứ hai.

(1)

(2) (chú ý rằng $\phi^{-1}(\phi(\lambda x) \phi(\lambda y))$ và $\phi^{-1}(\phi(\lambda x) \phi(\lambda y) \phi(-\lambda x) \phi(-\lambda y))$ được xác định với $|\lambda|$ đủ nhỏ).

Cho $L = L(G)$ được trang bị một chuẩn xác định tôpô của L và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ với mọi $x, y$ trong L. Dùng các Định lý 2 và 4, có thể giả sử rằng G là mầm nhóm Lie được xác định bởi L và rằng $\phi = \mathrm{Id}_G$. Ký hiệu $(x, y) \mapsto x \cdot y$ là tích trong nhóm G. Các công thức cần chứng minh khi đó có thể được viết (3)

(4)

Tồn tại một lân cận mở V của 0 trong K sao cho hàm

được xác định và giải tích trên V. Theo Chương II, § 6, no. 4, Nhận xét 2, khai triển của $f$ thành một chuỗi nguyên quanh gốc là và điều này chứng minh (3). Mặt khác, với $u, v$ trong G và $\|u\|, \|v\|$ đủ nhỏ, $u \cdot v$ là một hàm giải tích của $(u, v)$ và các số hạng bậc 1 và 2 trong khai triển của hàm này thành một chuỗi nguyên quanh gốc là $u + v + \frac{1}{2}[u, v]$. Theo Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 3.2.7 và 4.2.3, các số hạng bậc 1 và 2 trong khai triển của hàm $f(\lambda) \cdot f(-\lambda)$ thành một chuỗi nguyên quanh gốc là các số hạng bậc 1 và 2 trong hoặc cũng trong và điều này chứng minh (4).

Ánh xạ mũ

§ 4.3

$\phi$ thỏa mãn giả thiết (i) của Định lý 4 đối với G' và do đó là một ánh xạ mũ của G'.

Cho L được trang bị một chuẩn tương thích với tôpô của nó và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ với mọi $x, y \in L$. Chỉ cần xét trường hợp G là mầm nhóm Lie được xác định bởi L và $\phi = \operatorname{Id}_G$. Theo định nghĩa, $\varpi(x)$ khi đó là ánh xạ tiếp xúc tại x của ánh xạ $y \mapsto y . x^{-1}$ của G vào G. Nếu $H(X, Y)$ ký hiệu chuỗi Hausdorff, thì $\varpi(x)$ do đó, với $\| x \|$ đủ nhỏ, là ánh xạ tiếp xúc tại 0 của ánh xạ $y \mapsto H(x, +y, -x)$ của G vào G. Trong $H(X + Y, -X)$, tổng các số hạng bậc thứ nhất theo Y là

(Chương II, § 6, no. 5, Mệnh đề 5). Mệnh đề sau đó suy ra từ Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 3.2.4 và 4.2.3.

Cho G là một mầm nhóm Lie và $t \in K$. Một ánh xạ lũy thừa bậc t của G là bất kỳ ánh xạ nào, được xác định và giải tích trên một lân cận mở của e, có giá trị trong G và trùng nhau trên một lân cận của e với một ánh xạ

trong đó $\phi$ là một ánh xạ mũ đơn ánh của G.

(ii) Ánh xạ tiếp xúc tại e của một ánh xạ lũy thừa bậc t là phép vị tự với tỉ số t.

(iii) Nếu h là một ánh xạ lũy thừa bậc t và h' là một ánh xạ lũy thừa bậc t' của G, $h \circ h'$ là một ánh xạ lũy thừa bậc (tt') và $g \mapsto h(g)h'(g)$ là một ánh xạ lũy thừa bậc (t + t').

(iv) Nếu h là một ánh xạ lũy thừa bậc t và $u \in U^n(G)$, thì $h_*(u) = t^n u$.

Chỉ cần chứng minh mệnh đề trong trường hợp G là mầm nhóm Lie được xác định bởi một đại số Lie chuẩn đầy đủ và các ánh xạ lũy thừa bậc t được xét được xây dựng bằng ánh xạ mũ $\phi = \operatorname{Id}_G$. Nhưng trong trường hợp đó mọi thứ là hiển nhiên.

Cho $L(G)$ và $L(H)$ được trang bị các chuẩn xác định các tôpô của chúng và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ với mọi x và y. Có thể giả sử rằng G (tương ứng H) là mầm nhóm Lie được xác định bởi $L(G)$ (tương ứng $L(H)$), sao cho $\phi_G$ (tương ứng $\phi_H$) trùng với $\mathrm{Id}_G$ (tương ứng $\mathrm{Id}_H$) trong một lân cận của 0. Mặt khác, tồn tại một lân cận mở đối xứng W của 0 trong $L(G)$ sao cho $L(h)$ là một cấu xạ của mầm nhóm Lie W vào H. Theo Định lý 1, $L(h)$ trùng với h trên một lân cận của 0, do đó có mệnh đề.

Nói một cách không chặt chẽ, nếu G và H được đồng nhất trong một lân cận của phần tử đơn vị với $L(G)$ và $L(H)$ bằng các ánh xạ mũ, thì mọi cấu xạ từ G vào H là tuyến tính trong một lân cận của 0.

(i) Tồn tại một lân cận mở V của 0 trong $L(G')$ sao cho $\phi|V$ là một đẳng cấu của đa tạp V lên một lân cận mở của e trong G'.

(ii) Cho $x \in L(G)$. Các điều kiện sau là tương đương: (a) $x \in L(G')$; (b) $\phi(\lambda x) \in G'$ với $|\lambda|$ đủ nhỏ.

(i) thu được bằng cách áp dụng Mệnh đề 8 cho đơn ánh chính tắc của G' vào G và (ii) suy ra từ (i).

Điều này suy ra từ Mệnh đề 8 và Ví dụ 2 của no. 3.

(i) Tồn tại một lân cận V của 0 trong $L(G)$ sao cho

với mọi $x \in V$.

(ii) Nếu $g \in G$, tồn tại một lân cận W của 0 trong $L(G)$ sao cho

với mọi $x \in W$.

(i) suy ra từ Hệ quả 2 và § 3, no. 12, Mệnh đề 44. (ii) suy ra từ Mệnh đề 8 áp dụng cho Int g.

(i) Gọi $h_e = h$. Khi đó h là một đại số con Lie của $L(G)$ bất biến dưới $\mathrm{Ad}_{L(G)}(H)$.

(ii) $h_x = xh = hx$ với mọi $x \in H$ (trong đó $xh$ và $hx$ được tính trong $T(G)$).

(iii) Cho V là một đa tạp lớp $C^r$, $v_0$ là một điểm của V và f là một ánh xạ lớp $C^r$ từ V vào G sao cho $f(v_0) = e$ và $f(V) \subset H$. Với mọi mầm nhóm con Lie $H'$ của G có đại số Lie h, $f(v) \in H'$ với v đủ gần $v_0$.

(iv) Với mọi mầm nhóm con Lie $H'$ của G có đại số Lie h, $H' \cap H$ là một lân cận của e trong $H'$.

(v) Với mọi $x \in H$ và mọi $a \in h_x$, tồn tại một lân cận mở I của 0 trong K và một ánh xạ f lớp $C^a$ từ I vào G sao cho $f(0) = x, f(I) \subset H, (T_0f)(1) = a$. Rõ ràng $Kh = h$ và $xh_yz = h_{xyz}$ với $x, y, xy, xyz$ trong H. Điều này suy ra (ii) và tính chất h bất biến dưới $\mathrm{Ad}_{L(G)}(H)$.

Cho $a_1, a_2$ thuộc h. Cho I là một lân cận mở của 0 trong K và $f_1, f_2$ là các ánh xạ lớp $C^r$ từ I vào G sao cho $f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (T_0f_j)(1) = a_j$ ($j = 1, 2$). Ta định nghĩa $f : I \to G$ bởi $f(\lambda) = f_1(\lambda)f_2(\lambda)$. Khi đó f là lớp $C^r$ và $f(0) = e$. Bằng cách thu nhỏ I nếu cần, ta có $f(I) \subset H$. Mặt khác, ánh xạ từ $T_e(G) \times T_e(G)$ vào $T_e(G)$ tiếp xúc với ánh xạ $(g, g') \to gg'$ là phép cộng; do đó $(T_0f) = a_1 + a_2$. Vì vậy $a_1 + a_2 \in h$ và h là một không gian vectơ con của $L(G)$. Vì $xhx^{-1} = h$ với mọi $x \in H$, $(\mathrm{Ad}_{f_1(\lambda)}) . a_2 \in h$ với mọi $\lambda \in I$. Ánh xạ tiếp tuyến tại 0 của ánh xạ $\lambda \mapsto \mathrm{Ad}f_1(\lambda)$ là, theo Mệnh đề 44 của § 3, no. 12, ánh xạ $\lambda \mapsto \mathrm{ad}(a_1\lambda)$; do đó

vì $h$ là đóng trong $L(G)$. Do đó ta đã chứng minh (i). Trong phần còn lại của chứng minh, ta cố định một mầm nhóm Lie con $H'$ của G có đại số Lie h.

Cho V, $v_0, f$ như trong (iii). Gọi Y là phân lá trái của G liên kết với h (no. 1). Với mọi $y \in H'$, $T_y(H') = yh$. Mặt khác, với mọi $v \in V$, ảnh của $T_v(V)$ qua $T_v(f)$ được chứa trong $h_{f(v)} = f(v)h$ (theo định nghĩa của $h_{f(v)}$). Theo Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.3.2, f là một cấu xạ của V vào Y. Vì $H'$ là một lá của Y (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 9.2.8), $f(v) \in H'$ với v đủ gần $v_0$.

Cho $(a_1, \ldots, a_s)$ là một cơ sở của h. Tồn tại một lân cận mở I của 0 trong K và các ánh xạ $f_1, \ldots, f_s$ thuộc lớp $C^r$ từ I vào G sao cho $f_j(0) = e, f_j(I) \subset H, (Tf_j)1 = a_j$ với mọi j. Theo (iii), $f_j(\lambda) \in H'$ với $|\lambda|$ đủ nhỏ. Do đó các $f_1(\lambda_1)f_2(\lambda_2)\ldots f_s(\lambda_s)$ tạo thành, với $|\lambda_1|, |\lambda_2|, \ldots, |\lambda_s|$ đủ nhỏ, một lân cận của $e$ trong $H'$; và lân cận này được chứa trong $H$. Suy ra (iv).

Nếu $a \in \mathfrak{h}$, tồn tại một lân cận mở I của 0 trong K và một ánh xạ f thuộc lớp $C^\omega$ từ I vào G sao cho $f(0) = e, f(I) \subset H', (T_0 f)1 = a$. Điều này, cùng với (iv), suy ra (v).

(i) Tồn tại trên $H$ một và chỉ một cấu trúc đa tạp giải tích với tính chất sau: với mọi $r$ giữa 1 và $\omega$, với mọi đa tạp V thuộc lớp $C^r$ và với mọi ánh xạ $f$ của V vào $H$, $f$ là thuộc lớp $C^r$ như một ánh xạ của V vào $H$ khi và chỉ khi $f$ là thuộc lớp $C^r$ như một ánh xạ của V vào $G$.

(ii) Với cấu trúc này, $H$ là một nhóm Lie, đơn ánh chính tắc $i$ của $H$ vào $G$ là một immersion và $L(i)(L(H))$ là đại số con Lie tiếp tuyến tại $e$ của $H$.

Trong (i), tính duy nhất là hiển nhiên. Ta chứng minh sự tồn tại. Gọi $\mathfrak{h}$ là đại số Lie tiếp tuyến tại $e$ của $H$. Gọi $H'$ là một mầm nhóm con Lie của $G$ với đại số Lie $\mathfrak{h}$. Bằng cách thay thế $H'$ bởi một mầm nhóm con mở của $H'$, có thể giả sử rằng $H' \subset H$ (Bổ đề 4 (iv)). Với mọi $x \in H$, $xH'x^{-1}$ là một mầm nhóm con Lie của $G$ với đại số Lie $x\mathfrak{h}x^{-1} = \mathfrak{h}$. Do đó $H' \cap (xH'x^{-1})$ là mở trong $H'$ (no. 2, Định lý 3) và ánh xạ $y \mapsto xyx^{-1}$ là một đẳng cấu từ $H' \cap x^{-1}H'x$ lên $xH'x^{-1} \cap H'$. Dùng Mệnh đề 18 của § 1, no. 9, tồn tại một mầm nhóm con Lie mở $W$ của $H'$ và một cấu trúc nhóm Lie trên $H$ với các tính chất sau: $W$ là mở trong $H$ và các cấu trúc đa tạp trên $H$ và $H'$ cảm sinh cùng một cấu trúc trên $W$. Từ đó suy ra rằng đơn ánh chính tắc $i$ của $H$ vào $G$ là một immersion và $L(i)(L(H)) = L(H') = \mathfrak{h}$. Hơn nữa, hãy cho $V$ và $f$ như trong (i). Nếu $f : V \to H$ thuộc lớp $C^r$, thì $i \circ f : V \to G$ thuộc lớp $C^r$. Giả sử $i \circ f : V \to G$ thuộc lớp $C^r$; khi đó ta chứng minh rằng $f : V \to H$ thuộc lớp $C^r$. Nhờ phép tịnh tiến, chỉ cần xét trường hợp tồn tại $v_0 \in V$ sao cho $f(v_0) = e$ và chứng minh rằng $f : V \to H$ thuộc lớp $C^r$ trong một lân cận mở của $v_0$. Bây giờ, theo Bổ đề 4 (iii), $f(v) \in H'$ với $v$ đủ gần $v_0$, do đó mệnh đề của chúng ta. Như vậy ta đã chứng minh (i) và (ii) đã được thu được trên đường đi.

Cho $\theta$ và $\theta'$ là các ánh xạ từ $F \oplus F'$ vào chính nó được định nghĩa như sau: nếu $(u, v) \in F_x \oplus F'_x$, thì

Theo Đa tạp khả vi và giải tích, R, 7.7.1, $\theta$ và $\theta'$ là các cấu xạ của $F \oplus F'$ vào chính nó. Rõ ràng $\theta \circ \theta' = \theta' \circ \theta = \mathrm{Id}_{F \oplus F'}$. Do đó $\theta$ và $\theta'$ là các tự đẳng cấu của $F \oplus F'$. Vì vậy, $S = \theta(F \oplus \{0\})$ là một phân thớ con vectơ của $F \oplus F'$.