§ 5. Calculs formels dans les groupes de Lie

Soient $f, g$ deux séries formelles à coefficients dans K par rapport aux mêmes indéterminées; soit $f_i$ (resp. $g_i$ ) la composante homogène de degré $i$ de $f$ (resp. $g$ ). Nous écrirons

f \equiv g \pmod{\deg p}

si $f_i = g_i$ pour $i < p$ .

Dans ce §, G désigne un groupuscule de Lie de dimension finie $n$ ; le corps de base K est supposé de caractéristique zéro. On identifie une fois pour toutes, à l’aide d’une carte, un voisinage ouvert de $e$ dans G à un voisinage ouvert U de 0 dans $K^n$ , de façon que $e$ s’identifie à 0. Pour $x, y$ dans U et $n \in \mathbf{Z}$ , on note $x.y$ le produit de $x$ et $y$ , et $x^{[m]}$ la puissance $m$ -ème de $x$ dans G (lorsqu’ils sont définis). Les coordonnées de $x \in U$ sont notées $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .

1. Les coefficients $c_{\alpha \beta \gamma}$

Soit $\Omega$ l’ensemble des $(x, y) \in \mathbf{U} \times \mathbf{U}$ tels que $x.y$ soit défini et appartienne à $\mathbf{U}$ . Alors $\Omega$ est ouvert dans $\mathbf{U} \times \mathbf{U}$ , et l’application $(x, y) \mapsto x.y$ de $\Omega$ dans $\mathbf{U}$ est analytique. Les coordonnées $z_1, \ldots, z_n$ de $z = x.y$ admettent donc des développements en série entière à l’origine suivant les puissances de $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ . Par suite, il existe des constantes $c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n, \gamma_1, \ldots, \gamma_n} \in \mathbf{K}$ , bien déterminées, telles que

(1)

z_1^{\gamma_1} \ldots z_n^{\gamma_n} = \sum_{\alpha_1, \ldots, \beta_n \in \mathbf{N}} c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n, \gamma_1, \ldots, \gamma_n} x_1^{\alpha_1} \ldots x_n^{\alpha_n} y_1^{\beta_1} \ldots y_n^{\beta_n}

pour

\gamma_1, \ldots, \gamma_n

dans

\mathbf{N}

. Adoptant les conventions de VAR, R, nous écrirons ces formules plus brièvement:

(2)

(x.y)^{\gamma} = \sum_{\alpha, \beta \in \mathbf{N}^n} c_{\alpha, \beta, \gamma} x^{\alpha} y^{\beta} \quad (\gamma \in \mathbf{N}^n).

Puisque $x.0 = 0.x = x$ pour $x \in \mathbf{U}$ , on a

(3)

c_{\alpha, 0, \gamma} = c_{0, \alpha, \gamma} = \delta_{\alpha \gamma}

où

\delta_{\alpha \gamma}

est l’indice de Kronecker. En particulier, écrivant désormais

k

à la place de

\varepsilon_k

pour

k = 1, \ldots, n

(4)

(x.y)_k = x_k + y_k + \sum_{|\alpha| \geq 1, |\beta| \geq 1} c_{\alpha, \beta, k} x^{\alpha} y^{\beta}.

Posant $c_{\alpha \beta} = (c_{\alpha \beta 1}, c_{\alpha \beta 2}, \ldots, c_{\alpha \beta n}) \in \mathbf{K}^n$ , on a donc

(5)

x.y = x + y + \sum_{|\alpha| \geq 1, |\beta| \geq 1} c_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta}.

Au second membre de (5), considérons la composante homogène de degré 2:

B(x, y) = \sum_{i, j = 1}^n c_{ij} x_i y_j

de sorte que

(x, y) \mapsto B(x, y)

est une application bilinéaire de

\mathbf{K}^n \times \mathbf{K}^n

dans

\mathbf{K}^n

On a

(6)

x.y \equiv x + y + B(x, y) \pmod{\deg 3}.

La formule (4) entraîne d’autre part que

(7)

c_{\alpha, \beta, \gamma} = 0 \quad \text{si} \quad |\alpha| + |\beta| < |\gamma|

et que les termes de degré total

|\gamma|

dans le développement de

z^{\gamma}

sont aussi ceux de

(x_1 + y_1)^{\gamma_1}(x_2 + y_2)^{\gamma_2} \ldots (x_n + y_n)^{\gamma_n} = \sum_{\alpha + \beta = \gamma} ((\alpha, \beta)) x^{\alpha} y^{\beta}

(cf. VAR, R, Notations et conventions). Donc:

(8)

c_{\alpha, \beta, \gamma} = 0 \quad \text{si} \quad |\alpha| + |\beta| = |\gamma| \quad \text{mais} \quad \alpha + \beta \neq \gamma

(9)

c_{\alpha,\beta,\alpha+\beta} = ((\alpha, \beta)).

L’associativité du produit implique la relation

\sum_{\alpha,\xi} c_{\alpha\xi\eta} x^\alpha \left( \sum_{\beta,\gamma} c_{\beta\gamma\xi} y^\beta z^\gamma \right) = \sum_{\xi,\gamma} c_{\xi\gamma\eta} \left( \sum_{\alpha,\beta} c_{\alpha\beta\xi} x^\alpha y^\beta \right) z^\gamma

quels que soient

x, y, z

assez voisins de 0, d’où (10)

\sum_\xi c_{\alpha\xi\eta} c_{\beta\gamma\xi} = \sum_\xi c_{\xi\gamma\eta} c_{\alpha\beta\xi} \quad (\alpha, \beta, \gamma, \eta \text{ dans } \mathbf{N}^n).

Le groupuscule G admet un sous-groupuscule ouvert commutatif si et seulement si

c_{\alpha\beta\gamma} = c_{\beta\alpha\gamma}

quels que soient

\alpha, \beta, \gamma

dans

\mathbf{N}^n

2. Crochet dans l’algèbre de Lie

Pour $\alpha \in \mathbf{N}^n$ , soit $e_\alpha$ la distribution ponctuelle $\frac{1}{\alpha!} \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}$ à l’origine. En particulier,

e_k = e_{e_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}.

Les

e_\alpha

forment une base de l’espace vectoriel

U(G)

. Si

f

est une fonction analytique dans un voisinage ouvert de 0 dans G, et si

f(x) = \sum_\alpha \lambda_\alpha x^\alpha

est son développement en série entière à l’origine, on a

\langle e_\alpha, f \rangle = \lambda_\alpha.

En particulier,

\langle e_\alpha, x^\gamma \rangle = \delta_{\alpha\gamma}.

Donc

\langle e_\alpha * e_\beta, x^\gamma \rangle = \langle e_\alpha \otimes e_\beta, (x.y)^\gamma \rangle \\ = \langle e_\alpha \otimes e_\beta, \sum_{\alpha',\beta'} c_{\alpha'\beta'\gamma} x^{\alpha'} y^{\beta'} \rangle \\ = \sum_{\alpha',\beta'} c_{\alpha'\beta'\gamma} \langle e_\alpha, x^{\alpha'} \rangle \langle e_\beta, y^{\beta'} \rangle = c_{\alpha\beta\gamma},

donc (11)

e_\alpha * e_\beta = \sum_\gamma c_{\alpha\beta\gamma} e_\gamma.

(La formule (10) exprime alors l’associativité de

U(G)

.) En particulier, puisque

L(G)

est stable pour le crochet, (12)

[e_i, e_j] = \sum_k (c_{ijk} - c_{jik}) e_k,

Les constantes de structure de

L(G)

relativement à la base

(e_1, \ldots, e_n)

sont donc les

c_{ijk} - c_{jik}

. Autrement dit, identifiant canoniquement

L(G)

K^n

, on obtient: (13)

[x, y] = B(x, y) - B(y, x).

Proposition 1.

(i) $x^{[-1]} \equiv -x + B(x, x)$ mod deg 3 (ii) $x.y.x^{[-1]} \equiv y + [x, y]$ mod deg 3 (iii) $y^{[-1]}.x.y \equiv x + [x, y]$ mod deg 3 (iv) $x^{[-1]}.y^{[-1]}.x.y \equiv [x, y]$ mod deg 3 (v) $x.y.x^{[-1]}.y^{[-1]} \equiv [x, y]$ mod deg 3.

(Dans (i), $x^{[-1]}$ représente bien entendu le développement en série entière à l’origine de l’application $x \mapsto x^{[-1]}$ ; les autres formules s’interprètent de manière analogue.)

Soient $g_1$ et $g_2$ les composantes homogènes de degrés 1 et 2 de $x^{[-1]}$ . On a

0 = x.x^{[-1]}

\equiv x + g_1(x) + B(x, g_1(x)) \quad \text{mod deg 2} \quad \text{(d’après (6))}

\equiv x + g_1(x) \quad \text{mod deg 2}

donc

g_1(x) = -x

. Ensuite

0 = x.x^{[-1]}

\equiv x + (-x + g_2(x)) + B(x, -x + g_2(x)) \quad \text{mod deg 3}

\equiv g_2(x) - B(x, x) \quad \text{mod deg 3}

donc

g_2(x) = B(x, x)

. Cela prouve (i). En utilisant (i), on a

x.y.x^{[-1]} \equiv (x + y + B(x, y)).(-x + B(x, x)) \quad \text{mod deg 3}

\equiv x + y + B(x, y) + (-x + B(x, x)) + B(x + y, -x) \quad \text{mod deg 3}

\equiv y + B(x, y) - B(y, x) \quad \text{mod deg 3}

\equiv y + [x, y] \quad \text{mod deg 3} \quad \text{(d’après (13))}

d’où (ii). La démonstration de (iii) est analogue. En combinant (i) et (iii), on obtient

x^{[-1]}.y^{[-1]}.x.y \equiv (-x + B(x, x)).(x + [x, y]) \quad \text{mod deg 3}

\equiv -x + B(x, x) + x + [x, y] + B(-x, x) \quad \text{mod deg 3}

\equiv [x, y] \quad \text{mod deg 3}

d’où (iv). La démonstration de (v) est analogue.

3. Puissances

Considérons $j$ points de $G$ :

x(1) = (x(1)_1, x(1)_2, \ldots, x(1)_n)

x(2) = (x(2)_1, x(2)_2, \ldots, x(2)_n)

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

x(j) = (x(j)_1, x(j)_2, \ldots, x(j)_n).

L’application $(x(1), x(2), \ldots, x(j)) \mapsto x(1) . x(2) \ldots x(j)$ admet un développement en série entière à l’origine:

(14) \quad x(1) . x(2) \ldots x(j) = \sum_{\alpha(1), \alpha(2), \ldots, \alpha(j) \in \mathbf{N}^n} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)} x(1)^{\alpha(1)} \ldots x(j)^{\alpha(j)}

où les $a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)}$ sont des éléments de $\mathbf{K}^n$ . Posons, pour $j = 0, 1, 2, \ldots$

(15) \quad \psi_j(x) = \sum_{\alpha(1) \neq 0, \ldots, \alpha(j) \neq 0} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(j)} x^{\alpha(1) + \cdots + \alpha(j)}

où le second membre est une série entière convergente par rapport à la variable $x \in \mathbf{K}^n$ . On obtient cette série en supprimant dans (14) les termes dans lesquels l’une des variables $x(1), \ldots, x(j)$ n’intervient pas explicitement, puis en faisant $x(1) = x(2) = \cdots = x(j) = x$ .

Si $t \in \mathbf{K}$ , toutes les applications puissance $t$ -ème de $G$ ont même développement en série entière à l’origine, puisque deux quelconques d’entre elles coïncident dans un voisinage de 0. Nous noterons $x^{[t]}$ ce développement en série entière.

Proposition 2

(i) On a $\psi_j \equiv 0 \mod \deg j$ . (ii) Si $t \in \mathbf{K}$ , *on a

(16) \quad x^{[t]} = \sum_{i=0}^{\infty} \binom{t}{i} \psi_i(x)

où la série formelle de droite a un sens grâce à (i).

\left( \text{On pose } \binom{t}{i} = \frac{t(t-1)\ldots(t-i+1)}{i!} \text{ pour tout } t \in \mathbf{K}. \right)

L’assertion (i) est évidente sur la définition des $\psi_j$ . Prouvons (ii) pour $t$ entier $\geqslant 0$ . D’après (14), on a

(17) \quad x^{[t]} = \sum_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t) \in \mathbf{N}^n} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x^{\alpha(1) + \cdots + \alpha(t)}

Pour $\alpha = (\alpha(1), \ldots, \alpha(t)) \in (\mathbf{N}^n)^t$ , notons $\sigma(\alpha)$ l’ensemble des $j \in \{1, 2, \ldots, t\}$ tels que $\alpha(j) \neq 0$ . Si, dans la somme (17), on groupe les termes pour lesquels $\sigma(\alpha)$ est le même, il vient

(18) \quad x^{[t]} = \sum_{\sigma \subset \{1, t\}} h_{t, \sigma}(x)

avec

(19) \quad h_{t, \sigma}(x) = \sum_{\sigma(\alpha) = \sigma} a_{\alpha(1), \ldots, \alpha(t)} x^{\alpha(1) + \cdots + \alpha(t)}

Posons $\sigma = \{j_1, j_2, \ldots, j_q\}$ avec $j_1 < j_2 < \cdots < j_q$ . Dans (14) (où l’on remplace $j$ par t), substituons 0 à x(k) pour k ∉ σ ; comme 0 est élément neutre de G, on obtient le développement en série entière à l’origine de x(j₁) . x(j₂) . . . . . x(jₖ) :

x(j_1) . x(j_2) . . . . . x(j_k) = \sum_{\sigma(\alpha) \subset \sigma} a_{\alpha(1),...,\alpha(t)} x(j_1)^{\alpha(j_1)} x(j_2)^{\alpha(j_2)} . . . x(j_k)^{\alpha(j_k)}

donc, compte tenu de la définition de $\psi_q$ :

(20)

\psi_q(x) = \sum_{\sigma(\alpha) = \sigma} a_{\alpha(1),...,\alpha(t)} x^{\alpha(j_1)+\cdots+\alpha(j_k)}.

D’après (19) et (20), on voit que $h_{t,\sigma}(x) = \psi_{card_\sigma}(x)$ . Alors, (18) entraîne

x^{[t]} = \sum_{i=0}^{t} \binom{t}{i} \psi_i(x) = \sum_{i=0}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x).

Cela établi, posons $x^{[t]'} = \sum_{i=0}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x)$ pour tout $t \in K$ . Dans les séries entières $x^{[t]}$ et $x^{[t]'}$ , chaque coefficient est fonction polynomiale de $t$ . En effet, cela est évident pour $x^{[t]'}$ . En ce qui concerne $x^{[t]}$ , il suffit de prouver que, pour tout $u \in U(G)$ , l’image de $u$ par $x \mapsto x^{[t]}$ est fonction polynomiale de $t$ . Or, pour $u \in U^m(G)$ , cette image est $t^m u$ (§ 4, n° 3, prop. 7 (iv)).

Comme $x^{[t]} = x^{[t]'}$ pour $t$ entier $\geq 0$ , on conclut de là que $x^{[t]} = x^{[t]'}$ pour tout $t \in K$ .

Remarque 1

Ecrivons la condition (ii) de la prop. 2 pour $t$ entier $\geq 0$ :

\begin{align*} 0 &= \psi_0(x) \\ x &= \psi_0(x) + \psi_1(x) \\ x^{[2]} &= \psi_0(x) + 2\psi_1(x) + \psi_2(x) \\ &\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{align*}

Ces formules suffisent à déterminer les $\psi_i$ .

Remarque 2

On voit que $\psi_0(x) = 0$ , $\psi_1(x) = x$ , $\psi_2(x) = x^{[2]} - 2x$ ,

x^{[-1]} = \sum_{i=1}^\infty (-1)^i \psi_i(x).

Remarque 3

L’expression précédente de $\psi_2$ et la formule (6) prouvent que

(21)

\psi_2(x) \equiv B(x, x) \mod \deg 3.

Compte tenu de la prop. 2, (i) et (ii), on voit que

(22)

x^{[t]} \equiv tx + \binom{t}{2} B(x, x) \mod \deg 3.

Remarque 4

Notons $\psi_{p,m}(x)$ et $h_{t,m}(x)$ les composantes homogènes de degré $m$ de $\psi_p(x)$ et de $x^{[t]}$ . On a $\psi_{p,m} = 0$ pour $m < p$ . D’autre part, la prop. 2 (ii) donne

h_{t,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{t(t-1)\ldots(t-p+1)}{p!} \psi_{p,m}(x)

c’est-à-dire

h_{t,m}(x) = \sum_{1 \leq r \leq m} t^r \varphi_{r,m}(x)

où les $\varphi_{r,m}$ sont des applications polynomiales homogènes de degré $m$ de $K^n$ dans $K^n$ . On a en particulier, d’après (23),

\varphi_{1,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{(-1)^{p-1}}{p} \psi_{p,m}(x)

\varphi_{m,m}(x) = \frac{1}{m!} \psi_{m,m}(x).

Remarque 5

Si $K$ est de caractéristique $> 0$ , les résultats des n° 1 et 2 restent valables à condition de définir $e_\alpha$ , au n° 2, par $\langle e_\alpha, \sum_\beta \lambda_\beta x^\beta \rangle = \lambda_\alpha$ . Au n° 3, si on définit les $\psi_j$ comme ci-dessus, le raisonnement fait prouve encore que $x^{[t]} = \sum_{i=0}^\infty \binom{t}{i} \psi_i(x)$ si $t \in \mathbf{N}$ .

4. Exponentielle

Soit $E(x)$ le développement en série entière en 0 d’une application exponentielle de G. Soit $L(x)$ le développement en série entière en 0 de l’application réciproque d’une application exponentielle injective de G. Puisque l’application tangente en 0 à toute application exponentielle est l’identité de $L(G)$ , on a $E(x) \equiv x \mod \deg 2$ et $L(x) \equiv x \mod \deg 2$ . Puisque $E(L(x)) = L(E(x))$ pour $x$ assez voisin de 0, les séries formelles $E$ et $L$ sont telles que $E(L(X)) = L(E(X)) = X$ . Un raisonnement analogue montre que $E(tX) = (E(X))^{[t]}$ , $L(X^{[t]}) = tL(X)$ pour $t \in K$ .

Proposition 3

On a

L = \sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^{p-1}}{p} \psi_p

E = \sum_{p=1}^\infty \frac{1}{p!} \psi_{p,p}

(rappelons que $\psi_{p,p}$ est la composante homogène de degré $p$ de $\psi_p$ ).

On a

E(tx) = (E(x))^{[t]}

ou, d’après (24),

E(tx) = \sum_{m \geq 0} \sum_{1 \leq r \leq m} t^r \varphi_{r,m}(E(x)).

Les deux membres sont des séries formelles en $t$ et $x$ . Egalons les termes du premier degré en $t$ . Il vient

(29)

x = \sum_{m \geq 0} \varphi_{1,m}(E(x)).

Or l’inversion d’un système de séries formelles, quand elle est possible, ne l’est que d’une seule manière (A, IV, § 6, cor. de la prop. 8). Alors

\begin{align*} L(x) &= \sum_{m \geq 0} \varphi_{1,m}(x) & \text{d'après (29)} \\ &= \sum_{p,m} \frac{(-1)^p}{p} \psi_{p,m}(x) & \text{d'après (25)} \\ &= \sum_p \frac{(-1)^p}{p} \psi_p(x), \end{align*}

d’où (i). De même, on a, pour $t \neq 0$ ,

\begin{align*} L(tx) &= tL((tx)^{[t^{-1}]}) \\ &= tL\left( \sum_{m \geq 0} \sum_{1 \leq r \leq m} t^{m-r} \varphi_{r,m}(x) \right) & \text{d'après (24).} \end{align*}

Egalons les termes du premier degré en $t$ . Il vient

x = L\left( \sum_{m \geq 0} \varphi_{m,m}(x) \right)

d’où

\begin{align*} E(x) &= \sum_{m \geq 0} \varphi_{m,m}(x) \\ &= \sum_{m \geq 0} \frac{1}{m!} \psi_{m,m}(x) & \text{d'après (26).} \end{align*}

Proposition 4

Pour que la carte utilisée de $G$ soit canonique, il faut et il suffit que $\psi_j = 0$ pour $j \geq 2$ .

C’est suffisant d’après la prop. 3. Supposons que la carte soit canonique, et que $\psi_i = 0$ pour $2 \leq i < n$ . On a $nx = x^{[n]} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \psi_i(x) = nx + \psi_n(x)$ , d’où $\psi_n = 0$ . Donc $\psi_j = 0$ pour $j \geq 2$ par récurrence sur $j$ .

Exercices

See the exercises for § 5.