Remarque 4

Étiquette 0E8I, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E8I].

Lie Groups and Lie Algebras, chapter III, § 5. Calculs formels dans les groupes de Lie

Notons $\psi_{p,m}(x)$ et $h_{t,m}(x)$ les composantes homogènes de degré $m$ de $\psi_p(x)$ et de $x^{[t]}$ . On a $\psi_{p,m} = 0$ pour $m < p$ . D’autre part, la prop. 2 (ii) donne

h_{t,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{t(t-1)\ldots(t-p+1)}{p!} \psi_{p,m}(x)

c’est-à-dire

h_{t,m}(x) = \sum_{1 \leq r \leq m} t^r \varphi_{r,m}(x)

où les $\varphi_{r,m}$ sont des applications polynomiales homogènes de degré $m$ de $K^n$ dans $K^n$ . On a en particulier, d’après (23),

\varphi_{1,m}(x) = \sum_{p \leq m} \frac{(-1)^{p-1}}{p} \psi_{p,m}(x)

\varphi_{m,m}(x) = \frac{1}{m!} \psi_{m,m}(x).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.